Der er flere definitioner på et Steiner punkt. En af de mere kreative definitioner er, at det er et punkt, som skal bruges til at løse et af de problemer, Jakob Steiner rejste.
I sidste uges Numb3rs refererede Charlie til Steinerpunkter i forbindelse med Steinertræer. Vi har nogle punkter i planen og vil lave et netværk af stier, der forbinder alle punkterne, og som er så kort som muligt. Vi forlanger, at netværket udgør en graf, altså består af punkter og linier imellem dem – stier må ikke bue. Typisk skal man tilføje flere punkter end de oprindelige for at lave sådan en graf. For tre punkter (som ikke ligger på linie) skal man tilføje et punkt inden i trekanten, som man ser på billedet (fra Wikipedia, hvor det er stillet frit til rådighed – tak for det…)
Man kan vise, at vinklerne mellem de tre kanter er 120 grader.
Starter men med 4 punkter, A,B,C,D, skal man tilføje to Steiner punkter:
med mindre A,B,C og D ligger som hjørner i et kvadrat.
Der vil altid gå tre kanter ud fra et Steiner punkt, og vinklerne mellem disse kanter er 120 grader.
Man skal højst tilføje N-2 Steiner punkter, når man starter med N punkter.
Steiner træer er for eksempel nyttige, når man skal designe elektriske kredsløb. Hvorvidt de var nyttige i sidste uges Numb3rs, er jeg ikke sikker på. Hvis Charlie rent faktisk fandt et Steiner punkt for tre punkter i et terræn med bakker og buskads, må han have brugt et afstandsmål hørende til området, så man for eksempel måler afstand i, hvor lang tid det tager at komme fra et sted til et andet, og måske lader berberisbuskads være uigennemtrængelige, så afstand bliver langs en sti, der løber udenom. Den slags generaliserede Steinertræ-problemer har man også studeret. Mange af Steinertræ-problemerne er NP-fuldstændige – se forklaring tidligere på bloggen.
Charlie forklarede om sæbebobler og Steinertræer. Man kan få sæbehinder til at løse Steinertræ-problemet ovenfor ved at tage to stykker plexiglasplade, forbinde dem med (ret korte) pinde svarende til de punkter, vi vil lave Steinertræ for (Nu sidder de to plader sammen – parallelt med en lille afstand i mellem) Man dypper hele konstruktionen i en balje med sæbevand, og når man tager den op, vil den sæbehinde, der dannes mellem punkterne (mellem pindene), netop svare til et Steinertræ, se tegning her. Sæbehinder danner minimalflader – flader, der “ikke kan trække sig mere sammen” uden at gå i stykker. Minimalflader er et stort og interessant emne i både matematik og design. Måske kommer der mere om det i Numb3rs – jeg skal se på Numb3rs til i morgen, så I får ikke mere om Steinerpunkter og sæbehinder…
Hilsen Lisbeth. www.math.aau.dk/~fajstrup
numb3rs@math.aau.dk