I udsendelsen Kidnapning er en del af plottet, at faderen til det barn, der kidnappes, har løst en af de store formodninger i matematik, Riemannhypotesen. Og at han i beviset har lavet en mere effektiv metode til at faktorisere primtal. Det skrev jeg om på bloggen i oktober. Jeg lovede at komme tilbage til Riemannhypotesen, og det gør jeg nedenfor. Men det bliver ret langhåret, så for nye læsere vil jeg anbefale at læse linket tilbage til den oprindelige blogindgang. Og andre
læsere kan muligvis også føle trang til at stå af. Sådan er det med visse af matematikkens store problemer; de er meget vanskelige at forstå.
Riemannhypotesen er et af de syv “milleniumproblemer”, som man kan få en million dollars for at løse. Den har hidtil overlevet i 150 år, og der er rigtig mange matematikere, der har forsøgt at få haspå den. Også før der blev udlovet en dusør.
Læser man på linket om milleniumsproblemer ovenfor, er det nok svært at forstå, hvad det er, hypotesen siger. Men der findes en lidt mere tilgængelig formulering, som jeg vil forsøge at forklare.
Primtal (de tal (bortset fra 1), hvor kun 1 og tallet selv går op) er byggesten for alle tal. Man kan skrive ethvert tal som et produkt af primtal. F.eks. har vi at 21 = 7 •3 og at 32 = 2 • 2 • 2 • 2• 2. Vi ved, at der er uendelig mange primtal; det viste allerede Euklid. Vi ved også, at der bliver længere imellem dem, jo længere vi spadserer ud ad talaksen.
Lad π(m) være den funktion, der giver antallet af primtal mindre end m.Vi har f.eks. at π (4) = 2, da der er 2 primtal mindre end 4 (nemlig primtallene 2 og 3).
Vi kan nu sammenligne π(m) med funktionen n/ln( n) hvor ln( n) er den naturlige logaritme.
I en alder af 15 år (i 1793) påstod Gauss, at forholdet mellem π(m) og n/ln (n), altså brøken π(n) /(ln (n)/n)=π(n) n/ln(n), nærmer sig 1, når n går mod uendelig. De to funktioner ligner altså hinanden, når bare vi kommer langt nok ud af talaksen. Gauss havde forudset det ved at finde primtal og dermed regne π(m) ud for ret store n, og så sammenligne med funktioner, han kendte. Det blev først bevist langt senere, i 1896 af Hadamard og De la Vallee Poussin.
Men det er forholdet mellem funktionerne, der nærmer sig 1. Og det siger ikke noget om differensen mellem de to funktioner.
Tag for eksempe f(x) = x^8+x^7 og g(x) = x^8 . Forholdet f(x)/g(x) = 1 + 1/x nærmer sig 1 når x går mod uendelig.
Men |f(x)-g(x)| = x^7, og denne værdi går mod uendelig, når x går mod uendelig.
Riemann hypotesen siger noget om forskellen mellem pi(m) og [tex] frac{n}{ln n}[/tex], men for nu at være helt præcis, så er det ikke [tex] frac{n}{ln n}[/tex], men en funktion, der er meget i familie med den:
[tex] Li(n) = int^n_2 frac{1}{ln{t}} dt[/tex]
Riemannhypotesen siger, at der findes et tal C, så
[tex] |pi(n) – Li(n)| < C sqrt{n}ln n [/tex].
Det siger, at forskellen mellem de to funktioner kun går meget langsomt mod uendelig. Meget langsommere end f.eks, funktionen h(x)=x logaritmefunktioner vokser nemlig meget langsomt.