1-5 Udsendelse 5, Kidnapning

Hej bloggere.
I sidste uge blev det vist lige rigeligt langt – jeg vil forsøge at begrænse mig denne gang!
Matematikken i denne udsendelse var, som jeg så det:
Riemannhypotesen, kryptering, og lidt om renter, huspriser og spekulation i diskontoen.
Riemannhypotesen er et af de tidligere omtalte “Milleniumproblemer”, som man kan få en million dollars for at løse.
Riemannhypotesen siger, meget kort fortalt, at alle interessante nulpunkter for Riemanns zeta-funktion vil være komplekse tal med imaginærdel 1/2. Se det forstår man jo kun, hvis man allerede ved, hvad det handler om. Og faktisk tror jeg ikke, jeg vil forsøge mig med en nærmere forklaring her – måske senere i en særskilt posting.
Man ved, at formodningen er sand for de første 1.500.000.000 løsninger (!) men matematikere har flere eksempler på formodninger, der først går galt for meget store tal, så det er ikke nok for os.
Riemann hypotesen har forbindelse til fordelingen af primtal. (Tal større end 1, hvori kun 1 og tallet selv går op). Vi ved, at der bliver relativt færre og færre primtal, jo længere, vi kommer ud ad talaksen. Vi har også mål for, hvor meget færre: (Se også her
Lad pi(n) være antallet af primtal mindre end tallet n. Så er forløbet af pi(n) som forløbet af funktionen n/ln(n), hvor ln(n) er den naturlige logaritme. Altså jo større n, jo mere ligner de to funktioner hinanden. Jo større n, jo tættere på 1 kommer man, når man dividerer pi(n) med n/ln(n). Om primtalssætningen og Wikipedia om sætningen.
Vi ved bare ikke præcis, hvordan primtallene ligger – kun sådan cirka. Som et lille kuriosum: Man troede i lang tid, at pi(n) var den mindste af de to funktioner, men faktisk krydser de hinanden uendelig ofte. Der er mange flere mærkelige facts i de to links ovenfor. Mange af resultaterne om primtalsfordelingen er bevist ved at studere Riemanns zeta-funkton.

Alle tal kan skrives som et produkt af primtal 15=3×5, 8=2x2x2 etc. Men har man et stort tal, N, er det svært at finde de primtal, der skal bruges til at skrive det som et produkt. Og her betyder svært, at det tager rigtig lang tid – også for en stor computer. Det er jo i princippet ikke svært: Man dividerer med 2; hvis det går op, (N/2 er et helt tal) dividerer vi N/2 med 2, indtil det ikke går op mere. Så dividerer man med 3 og ser om det går op etc. Og det kan en computer skam også gøre, men det tager rigtig lang tid.

Hvad har det så med kryptering at gøre? I udsendelsen var plottet, at der i et bevis for Riemannhypotesen indgik en bedre måde at faktorisere et tal i primtal (skrive det som et produkt, som ovenfor). Og det kunne bruges til at bryde ind i centralbankens computer.
Såkaldte “Public key” krypteringssystemer bygger på, at man kan offentliggøre, hvordan en besked skrives med hemmelig skrift, krypteres, uden at afsløre, hvordan man dekrypterer, altså læser beskeder, der er skrevet med hemmelig skrift.

I udsendelsen her bruges RSA- systemet. Det, man offentliggør, er produktet af to meget store primtal. For at kryptere – skrive til banken – skal man kun bruge produktet. Men for at læse – dekryptere – skal man bruge begge primtal. Man skal altså faktorisere det store tal.

Hvis man forestiller sig, at der pludselig var en effektiv faktoriseringsalgoritme, ville den type sikkerhed være ubrugelig. Og vi ved ikke, om der findes sådan en algoritme.

Hilsen Lisbeth. www.math.aau.dk/~fajstrup