I “Bettor or Worse” forklarer Charlie Amita om Farey følger. Det er den slags tal, man finder som odds, men skrevet som brøker, så odds 2:9 skrives 2/9.
Farey følge nummer N, eller Fareybrøkerne af orden N, er uforkortelige brøker på formen r/s, hvor s ligger mellem 1 og N, og de skrives op efter størrelse – en følge er ikke bare en mængde tal, men også en bestemt rækkefølge. Fareyfølgen for N=9 og i intervallet fra 0 til 1, er
0/1,1/9,1/8,1/7,1/6,1/5,2/9,1/4,2/7,1/3,3/8,2/5,3/7,4/9,1/2,5/9,4/7,3/5,5/8,2/3,5/7,3/4,7/9,4/5,5/6,6/7,7/8,8/9,1/1
Skriver man Farey-følgerne op under hinanden:
0/1, 1/1
0/1, 1/2, 1/1
0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1
0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1
0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1
0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1
(her har jeg skrevet fra N=1 til N=6) kan man se, at der er forskellige systemer i galskaben.
Betragter man Farey-følgen for N=9 som succesrate for op til 9 skud på mål, kan man forstå lidt af systemet. Så 5 skud på mål med to succeser repræsenteres som 2/5. Og vi forkorter altid brøkerne.
Har man haft 5 skud og 2 mål og derefter 3 skud og 1 mål, har man ialt haft 8 skud og 3 mål, så man lægger tæller og nævner sammen – forkert brøkregning! 2/5 med 1/3 bliver 3/8. Det kaldes medianten – så det er ikke ulovligt, det er bare ikke summen af brøkerne.
Se på farey følgerne ovenfor. Fra række 3 til række 4 indsætter man 1/4 mellem 0/1 og 1/3. Og 1/4 er netop medianten af 0/1 og 1/3. Det er systemet i at regne den næste følge ud – kig selv efter. Og hvis man har tre på hinanden følgende tal x < y < z i en bestemt Farey følge, så er y medianten af x og z.
Er r/s < a/b to på hinanden følgende brøker i en Farey-følge, da er as-rb=1. Og i øvrigt omvendt: Hvis ad-bc=1, da er a/c og b/d to på hinanden følgende termer i en Fareyfølge. Og det er a/b og c/d også
Tæller man antallet af brøker i Farey følge nummer N, så nærmer det tal sig 3(N/pi)^2, jo større N bliver. Så det er et eksempel på en mystisk optræden af pi, som beskrevet tidligere på bloggen.
Der er flere pudsige egenskaber ved farey-følger. se f.eks Wikipedia eller Mathworld
Beviser kan man finde mange steder, men man kan jo også overveje, hvordan det mon skal gribes an. Farey kunne ikke bevise sine påstande, selvom han beskrev mange af dem.
Hilsen Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
numb3rs@math.aau.dk