Harvest/Høst 2-14

Det var godt nok et spændende og ret ubehageligt afsnit af Numb3rs! Mon ikke mange blev inspireret til at blive organdonorer?

Og hvad var der så af matematik? Charlie snakkede om overfladespænding og analyserede billeder af is, der smeltede, plus den pøl af smeltet vand, man kunne se, for at regne tilbage til, hvornår isen var anbragt der. Matematikken er bl.a. partielle differentialligninger.

For at analysere logbogen for ambulancen, brugte Charlie skjulte Markovprocesser samt “elliptiske metoder”.

Og Amita hedder Ramanujan. Det er et interesssant navn i matematikhistorien.

I får noget om skjulte Markovprocesser. Så kan jeg muligvis komme tilbage til det andet.

Skjulte Markovprocesser.

En Markovproces er en række begivenheder, stokastiske variable, [tex]X_1, X_2,cdots,X_n,cdots[/tex], hvor det, der sker i [tex]X_n[/tex] afhænger af, hvad der skete i [tex]X_{n-1}[/tex], altså det, der skete umiddelbart før. Eksempelvis kan det være de websider, jeg kommer igennem, når jeg surfer rundt på nettet. Google Page Rank bruger bl.a. følgende ræsonnement: Hvis jeg er på en webside med ialt k links til andre sider, og der er ialt N (meget store N) websider på hele internettet, så vil sandsynligheden for, at den næste side er side nummer i, være
(1-q)/k +q/N
for en af de sider, der er links til, og
q/N
for sider, der ikke er links til fra den side, jeg er på. I PageRank er q sat til cirka 0,15. De to sandsynligheder kaldes overgangssandsynligheder.
Mere indviklet bliver det, når tilstandene er beskrevet ved flere variable. Det har jeg beskrevet tidligere på bloggen om fangeflugt.

En skjult Markovproces, som er det, der tales om her, er skematisk tegnet nedenfor (fra Wikipedia – tak for det)

Her er den skjulte Markov proces x(t-1),x(t),… og de vandrette pile er overgangene i den proces. Det, vi observerer, er ikke tilstandene i Markovprocessen, men derimod y(t-1),y(t),… som afhænger af Markovprocessen. Der er et eksempel i Aktuel Naturvidenskab, hvor de skjulte tilstande er slægtskabsforhold, og det observerede er DNA sekvenser. Man kan forsøge at finde ud af, hvad overgangssandsynlighederne er i den underliggende proces, og dermed få mere styr på det, man vil observere fremover. y(t) kan være bestemt ved en overgangssandsynlighed fra x(t), eller man kunne have den fuldstændig bestemt som en funktion af x(t) (svarende til sandsynlighed 1 for overgangen)

Charlie mener, der er en skjult Markovproces under det, han læser i ambulancens logbog. Man kan gætte på, at det er, hvor folk bliver syge i LA og har brug for en ambulance??? Eller måske er den skjulte proces, den rute, ambulancen faktisk kører, hvor logbogen som så er det, vi observerer, jo har mangler. Det har jeg ikke gennemskuet. Men jeg tror mest på det sidste

Der er rigtig mange anvendelser af skjulte markovprocesser. I talegenkendelse, generering af tilfældige men meningsfulde tekster, i biologi, i finansiering,… Det kan I nok selv surfe jer til.

Charlie nævner også noget om elliptiske metoder. Det lyder meget dyrt (der er meget avanceret matematik, der kan gemme sig under det navn) men jeg tror egentlig bare, han mener følgende:

Se på ellipsen nedenfor (fra Eric Weisstein https://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html Mathworld. Tak for det!) Hvis ambulancen på strækningen mellem punktet F1 og F2 (brændpunkter i ellipsen)kører r1+r2 km, så kan den nå til et af punkterne på randen af elipsen, hvis den kører lige derhen og lige tilbage igen. Men i hvert fald må den holde sig indenfor ellipsen. Man kan ikke køre i lige linie i en by, men må følge vejene; men stadig er området afgrænset af en ellipse.

Lidt om is, der smelter

Når is smelter, bruges der energi. Isen har temperatur 0 grader både før og efter faseovergangen fra is til vand. Man kan opstille en meget indviklet ligning, en (partiel)differentialligning, som beskriver den proces udfra temperatur og tryk i lokalet. Charlie og Larry laver et eksperiment, formentlig for at bestemme nogen af de konstanter, de skal bruge, eller muligvis for at simplificere udregningerne. Det får I ikke mere om nu…