5-07 Charlie don’t surf

Titlen er et citat fra Apocalypse Now og i øvrigt navnet på et Aalborgensisk band 🙂

Der var en del matematik: Analyse af havstrømme og bølger, (ud)foldning (deconvolution algorithms), strategier for sten, saks, papir (??), spectral sensing analysis (til at identificere marihuana planter), hyper spectral images.

Analyse af havstrømme og bølger
Vandbølger og strømme kan naturligvis modelleres matematisk. Hvor god en model, det er, afhænger af, hvor mange faktorer, man tager i betragtning, og omvendt bliver det numerisk uhåndterligt, hvis man tager for mange faktorer med – som altid i matematisk modellering.
En simpel (!) model er “shallow water wave equations”, som er koblede partielle differentialligninger. Det ser grafisk smukt ud: (jeg har bøvl med at sætte billeder ind, så det rager for langt ned, men der er mere tekst nedenfor 🙂

Modellen beskriver for hvert punkt (x,y,z) og tidspunkt t samspillet mellem

strømning i x-retningen u(x,y,z) og i y-retningen, v(x,y,z)

bundhøjden, b(x,y,z), bølgehøjden, h(x,y,z).

Nu skulle man jo tro, at man bare kunne løse ligningerne, men det kan man typisk ikke. Man må simplificere – linearisering og diskretisering er kodeordene. Man regner ikke på alle punkter, men paa et “net” – svarende til, at man f.eks. kun regner på x,y,z- koordinater …,-2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2,…. Så er løsningerne naturligvis ikke helt rigtige mere, og man må overveje, hvor galt det går. Og om man skal have et finere net – altså koordinater 1/4 også.
Numerisk analyse er den gren af matematikken, hvor man beskæftiger sig med, hvordan man håndterer den slags – både udfra hvor meget computerkraft, man har til rådighed og hvor store datamængder, man kan afstemme løsningerne efter. Charlie talte om en mere praktisk tilgang, og de var ude på Channel Islands og smide bøjer i havet. Det gør man systematisk:

Her er en oversigt over bøjer ud for Californien. Disse bøjer sender hele tiden information til “National data buoy center” . Her er f.eks. informationen fra Station 46025 (Santa Monica Basin) idag klokken 10.50:
Station 46025
NDBC
Location: 33.749N 119.053W
Conditions as of:
Thu, 11 Mar 2010 10:50:00 UTC
Winds: N (350°) at 9.7 kt gusting to 11.7 kt
Significant Wave Height: 3.9 ft
Dominant Wave Period: 6 sec
Mean Wave Direction: WNW (300°)
Atmospheric Pressure: 30.08 in and rising
Air Temperature: 54.3 F
Water Temperature: 56.1 F

man kan finde data tilbage fra 1982 fra denne bøje – imponerende.

I Danmark bruger man flere forskellige havmodeller. Man regner hver dag – fire gange om dagen på bølgemodellen DMI-WAM og giver prognoser for havbølger. I modellen og beregningerne indgår data fra andre modeller for f.eks. tryk og temperatur i luften – det er en enorm numerisk beregning. Det er en model for åbent hav og det er lidt mindre komliceret end kystnære bølger. Følger man linket ovenfor vil man bl.a se, at tidsskridtene er 20 sekunder og at der koordineres med modeller for Nordsøen-Østersøen, Nordatlante, Middelhavet og Rødehavet.
Hyperspektrale billeder
Charlie brugte luftfotos til at finde marihuana planter, men det var ikke almindelige fotos. De var hyperspektrale – man tager flere billeder af det samme, hvor hvert billede repræsenterer forskellige “farver” eller rettere dele af det elektromagnetiske bånd – altså også ikke-synlige dele.
En model for, hvad man ser på billedet er som følger (lineær model)
Hver pixel er et billede af det materiale, der findes indenfor denne pixel. Materialer reflekterer sollys forskelligt. Hvis x=(x1,…,xn) er mængden af materialerne 1,…n, vil man for denne pixel i energibånd nummer 1 se den samlede refleksion i dette bånd: p1=a11*x1+a12*x2+…+a1n*xn hvor koefficienterne a1k siger, hvor meget materiale nummer k reflekterer til bånd nummer 1. Tilsvarende for bånd nummer i
pi=ai1*x1+ai2*x2+…+ain*xn.
Nu kan man så (muligvis) regne tilbage og finde mængden af materiale – altså x1,…,xn ved at løse et antal lineære ligninger med n ubekendte. Antal ligninger = antal bånd. Mere indviklet bliver det, hvis terrænet ikke er fladt, så der måske reflekteres til nabopixels også. Så er det ikke lineært mere.
Her er en hyperspektral terning (fra Wikipedia om Hyperspectral imaging)