Jeg har fået min sæson 4 DVD fra Movie World – herligt. Så nu er jeg igen på forkant!
FBI fik en video, der bl.a. viste en død kvinde i et badekar med ansigtet delvis under vand. Det gav anledning til en del matematik og fysik: Konstruktion af et billede af ansigtet udfra videoen, hvor refraktion i overfladen og andre effekter slørede det. Udregning af en mistænkts volumen udfra vandhøjden, da han lå i vandet med kvinden og da han var stået op.
Der var også noget spilteori (igen) i forbindelse med pengeafpresning. Og de DVD film, man sender ud til skuespillere inden premieren er kodet, så man kan afsløre, hvis de bliver brugt til piratkopiering.
En variation over Archimedes’ lov
En forbryder er så stor som den mængde vand, han fortrænger, når han ligger i et badekar med en prostitueret… Det var en uhyre simpel matematikanvendelse. På videoen kunne man se, at vandet havde stået højere, end det gjorde, da kun den døde kvinde lå i karret. Larry og Charlie satte to mærker – et, hvor vandet gik til med liget i og et, hvor det havde gået til. Så hældte de simpelthen vand i og målte, hvor meget der gik, til at fylde fra det laveste til det højeste af de to mærker. Det var 89,6 liter. De konkluderede nu, at det måtte være en stor mand. Men ved faktisk noget om sammenhæng mellem volumen og højde og om sammenhæng mellem volumen og vægt for mænd. Det er kortlagt i artiklen “Correlation between body volume and body mass in men”, American journal of clinical nutrition 24, November 1971.D.K. Wakat, R.E.Johnson, H.J.Krzywicki og L.I.Gerber. Man målte vægt, højde, volumen (ved at lade dem dykke ned i et kar…) og residual lungevolumen. (Lungevolumen og et estimat af “andre gasser” blev trukket fra volumen, da man ønskede at sige noget om fedtprocent)
Så plottes (højde,volumen) i et koordinatsystem.
Det giver en sky af punkter i et koordinatsystem med højde på x-aksen og volumen på y-aksen.
Man plotter også (vægt, volumen).
Sammenligner man de to skyer af punkter ser de meget forskellige ud. Her er nogen eksempler på dataskyer fra Wikipedia
Tallene ovenfor skyerne er korrelationskoefficienten, som udtrykker hvor god llineær sammenhæng, der er mellem x og y-koordinaten. (altså f.eks. højde og volumen). Ligger punkterne på linie, er korrelationskoefficienten
1, hvis linien har positiv hældning,
-1, hvis hældningen er negativ og
ikke defineret, eller 0, hvis den er vandret.
En mere “udtværet” klat som nummer 3 i øverste række har korrelationskoefficient 0,4 – der er ikke en så tydelig lineær sammenhæng mellem de to variable. Andre typer sammenhæng, som dem, man ser i nederste række skyer, kan man ikke finde med korrelationskoefficienten.
For (vægt,volumen) er koefficienten 0,996, mens den for (højde,volumen) er 0,422. Så Charlie og Larry kan konkludere noget om vægten af ham, der lå i badet, men knap så meget om højden.
Korrelationskoefficienten er et mål for i hvor høj grad, data ligger på en linje.Altså, om der findes a og b, så yi=a+bxi hvor datapunkterne kaldes (xi,yi). Kald middelværdien af xi’erne x og middelværdien af yi’erne y. De to vektorer (x-x)=(x1-x, x2-x,…,xn-x) og (y-y)=(y1-y,y2-y,….,yn-y) er parallelle, hvis datapunkterne ligger på linje, mere præcist har man (y-y)=b(x-x).
Korrelationskoefficienten er cosinus til vinklen mellem de to vektorer. Det drejer sig jo om vektorer i et rum af dimension n, så intuitivt er det måske vanskeligt at forestille sig en vinkel mellem dem, men det er som i dimension 3: Vinklen kan ses i den plan, der indeholder de to vektorer. Man kan udregne cosinus til vinklen som
(x-x)•(y-y)⁄|(x-x)||(y-y)|
Altså skalarproduktet (x1-x)(y1-y)+(x2-x)(y2-y)+…+(xn-x)(yn-y)
divideret med produktet af længderne, hvor |(x-x)|=√ (x-x)•(x-x) (Pythagoras i flere dimensioner)
I øvrigt havde mænd med volumen knap 90 liter højder mellem 170 og 195 i undersøgelsen og vejede ca. 95 kg.
Rekonstruktion af billeder
Det har vi haft på bloggen før. Denne gang snakkede Charlie om refraktion og Snells lov. At kunne korrigere billeder for refraktion er meget væsentligt i anvendelser i forskellige former for scanning, MR og ultralyd f.eks. Det drejer sig om et inverst problem, som Charlie illustrerede med en tyggegummikuglemaskine, som man slog i stykker hvorefter kuglerne spredtes i alle retninger. Pointen var, at hver enkelt tyggegummikugle opfører sig, som den skal iføge fysikkens love, saa man kan i princippet rekonstruere, hvor alle kuglerne var, ved at “regne baglæns”. Og det er samme princip i gendannelse af billeder: Man ved, hvordan det ser ud, hvis man tager en kendt genstand og ser på den gennem vand. Og man vil gerne baglæns; Vi ser en genstand gennem vand. Hvordan ser den så ud. Charlie brugte Snells lov om brydning:
her. Jeg tvivler nu på, det har en effekt, Charlie behøver at tage hensyn til her, men jeg er jo ikke fysiker, så det skal jeg nok ikke kloge mig om…
Spilteori og pengeafpresning
Får I ikke noget om idag. Der er en del artikler om det på nettet – Se f.eks. Why it is so hard to get away with blackmail om en økonomiforelæsning fra 1959 om netop det. Holdt af en ung økonom, som senere forsøgte at stoppe krigen i Vietnam ved at lække “The Pentagon Papers” i håb om at afpresse regeringen – han blev ikke dømt, men blev nok fyret fra sin stilling som militær analytiker.