Det, Charlie og co. virkelig bidrog med idag, var at genskabe det billede, der var forvansket, fordi det var taget dels gennem ruden på en bus og dels reflekteret i en termokop (eller noget i den retning).
Anamorfose
Forvanskning af billeder. I Numb3rs var billedet forvansket i spejlingen, men det omvendte har været kendt langt tilbage i tiden: Lav en tegning, som er forvansket, men som ser rigtig ud, hvis man f.eks. stiller en spejlende cylinder midt på (spejl anamorfose), hvis man kommer gående hen imod tegningen (perspektivanamorfose)- eller hvad man nu kan forestille sig. Da Vinci brugte teknikken med perspektiv – det er f.eks. smart, når man maler lofter.
Istvan Orosz: Anamorphosis with Column. Man kan se, hvor forvansket, det ser ud, inden spejling i cylinderen. Matematikken bag er ikke så vanskelig. Tegn det billede, man vil have frem på cylinderen i et sædvanligt rektangulært koordinatsystem (se øverst til venstre i tegningen nedenfor.) Billedplanen, hvor man skal tegne det deformerede billede, skal have det tilsvarende polære koordinatsystem: De lodrette linier fra før bliver til radier i en cirkel (linjer ud fra centrum), og de vandrette bliver til cirkelbuer med samme centrum (koncentriske). Billedet overføres nu et lille rektangel af gangen.
(Billede af Istvan Orosz, fra Wikipedia)
Kender man forvanskningen, kan man finde det oprindelige billede ved at “regne tilbage” – i.e., at løse det inverse problem.
Det er indbygget i f.eks. Photoshop, når det drejer sig om velkendte forvanskninger i kameraets objektiver. Men Larry og Amita (og til sidst også Charlie) må skræddersy deres “afforvanskning”.
De genskaber situationen med bussen og kruset, anbringer Charlie som chauffør og finder ud af, hvordan han ser ud spejlet i kruset. Og så regner de tilbage, en lille firkant ad gangen. Larry nævner noget om splines: Når man regner på en firkant ad gangen, skal man sørge for, at det ser fornuftigt ud, hvor firkanterne mødes. Tænker man f.eks. på bare en dimension og laver sig en funktion, der skal være f(x)=x^2 for positive x og f(x)=x for negative x, så mødes de fint i x=0 (funktionen er kontinuert), men grafen knækker. Vil man undgå et knæk, skal man forlange noget mere om de funktioner, man tillader.
Forvanskningen kan afhænge af bølgelængden af lyset, og så må man afforvanske rød, grøn og blå hver for sig.
Fra Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Uniformity.jpg
Her er et flot eksempel på forskellig forvanskning i to glas.
I en “afforvanskning” drejer det sig om funktioner, der tager to variable ind og giver to variable ud
(u,v) sendes i (x(u,v),y(u,v)).
(u,v) er koordinaterne i det forvanskede billede og (x(u,v),y(u,v)) skulle gerne være det rigtige billede. Kender man nu funktionen for at komme den anden vej – fra (x,y) til (u,v), altså forvanske, så kan man (måske) finde den, der “afforvansker”.
Charlie kommer til sidst med en diffeomorfi, der vrider det delvist afforvanskede billede på plads. En diffeomorfi er en differentiabel afbildning – som kan gøre noget forskelligt i forskellige områder af billedet – se nedenfor -man skal forestille sig, at de blå linjer har været koordinatsystemet, som nu er blevet vredet, men ikke værre end at linierne ikke har fået knæk – de er bare blevet buet.
Jeg ved ikke, hvordan Charlie gennemskuede, at det var den deformation, han skulle bruge, men ifølge igen Wikipedia, havde Interpol i 2007 en sag, hvor en pædofil havde taget billeder af sig selv, men fordrejet ansigtet ved en diffeomorfi – et “swirl” – Interpol gennemskuede, hvilken diffeomorfi, det var, og deformerede tilbage igen.
Der er fantastisk flotte eksempler på fortovsmalerier med perspektivisk anamorfose på Julian Beever’s hjemmeside. Bemærk, at billedrne kun har 3D effekt, hvis man ser dem fra den rigtige side. Se f.eks. globussen i det rigtige og det forkerte perspektiv.
Pingback: 5-12 Jacked på numb3rs