2-4 Calculated Risk – finansiering, vektorfelter

Hej Bloggere.
Idag brugte Charlie igen betingede sandsynligheder, som jeg skrev om for et par gange siden her på bloggen. Det var sådan, han vurderede sandsynligheden for, at de foreksllige personer havde gjort det. Men der var mere matematik i baggrunden. Der var f.eks. noget om “pruning” af træer – gad vide, om det hedder at styne dem på dansk? Nå, det har jeg ikke noget med om idag. Jeg har valgt at skrive om handel med futures (det var det, morderen havde tjent penge ved) og om vektorfelter, som man bruger til at beskrive noget, der flyder – som vandet på Charlies gulv. Det er nok lettere at læse det om vektorfelterne først, så gør endelig det.

Der var forresten også noget om, at Charlie havde analyseret firmaets regnskab allerede i forbindelse med svindelsagen. Det lyder lidt mystisk, men måske har han brugt et ekspertsystem (som vi også har haft oppe tidligere på bloggen) til at finde steder i regnskabet, hvor det ser uldent ud.

Futures og optioner.
Finansiering er et område, der anvender meget avanceret matematik og beskæftiger mange matematikere. I denne episode var det en del af plottet, at virksomheden havde spekuleret i futures eller optioner. I stedet for at købe (eller sælge) aktier til den kurs, de har idag, kan man købe retten til at købe (eller sælge) aktier til en bestemt pris en bestemt dag – som jeg forstår det, er futures en pligt til at købe/sælge, mens optioner er muligheden for det. Er aktierne så steget til en højere pris end den, man aftalte, har køberen tjent penge – hvis ikke prisen på optionen var for høj.
Hvad skal prisen så være? Ja, der kommer matematikken ind. I 1997 fik Myron Scholes og Robert Merton Nobelprisen i økonomi for Black-Scholes modellen, som er en model for prisfastsættelse af netop optioner. (Fischer Black døde i 1995 – så han kunne ikke få Nobelpris i 97.)
Hvis jeg ejer nogle aktier i et firma, kan jeg have interesse i at sælge købsoptioner for at minimere min egen risiko. Og jeg får penge for at sælge optionerne, så jeg overlader noget af risikoen til den, der har købt optionerne.
Prisfastsættelsen udledes fra en avanceret differentialligning; man vurderer bl.a. hvad ændringen i prisen vil være, hvis aktierne stiger. Og man sammenligner med, hvad man kan få ud af at anbringe de samme penge risikofrit og med fast forrentning. Desuden afhænger prisen af, hvor lang tid der er, til optionen kan/skal indfries. Det er betydelig mere kompliceret – formlen kan ses her.
Differentialligninger, hvor man ved noget om variationer af en funktion og derfra kan sige noget om funktionen, er ikke helt nok. Man skal bruge stokastiske differentialligninger hvor der indgår ikke-deterministiske elementer (f.eks. prisen på aktierne som tiden går) i ligningen. Her er den stokastiske differentialligning for
Black -Scholes.

Vektorfelter
Larry hælder blæk i en vandpyt på Charlies gulv for at se hvad vej, vandet strømmer, hvilket inspirerer Charlie til at “følge pengestrømmen”, eller hvordan det nu var.

Når man skal beskrive, hvordan en væske strømmer, gør man det normalt ved hjælp af et vektorfelt. En vektor er simpelthen en “pil” – en retning og en længde, der repræsenterer, hvor hurtigt det strømmer i den retning. Man skal altså have sådanne pile overalt i væsken, for noget af væsken kan jo f.eks. stå stille, mens andet strømmer rundt om det. Hvis vi nu lader vores væske være ret flad, kan vi tænke på, at der er pile alle steder i (et stykke af) planen. Hvis vi så smider en pind i vandet, kan vi følge pilene og se, hvor den kommer hen.
Her er nogle eksempler på vektorfelter i planen:

(hentet fra Weisstein, Eric W. “Vector Field.” Fra MathWorld–A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/VectorField.html)

Den kurve, pinden følger, når vi har smidt den i vandet, er løsning til et system af differentialligninger: Vektorfeltet beskriver tangenter til kurver. Man skal finde kurver, hvis tangenter passer. Pinden flyder langs sådan en kurve.

Man kan få tegnet vektorfelter flere steder på nettet: Her er et af dem. Et vektorfelt i planen beskrives med to funktioner x’ = f(x,y) og  y’ =g(x,y) – vektoren i punktet (x,y) har koordinater (f(x,y),g(x,y))  – det kan man se eksempler på i tegningerne ovenfor. Ved at åbne “PPlane” får man mulighed for at klikke et sted på vektorfeltet (smide en pind i vandet der) og få tegnet, hvor den flyder hen – den kurve, der følger vektorfeltet.

Differentalligninger og systemer af differentialligninger er uhyre anvendelige som modeller for fysik, økonomi, biologi etc. Og selvfølgelig som ren matematik: Hvad skal man vide om et vektorfelt, for at være sikker på, der er kurver, der følger vektorerne? Hvor lange bliver de kurver? Er der stor forskel på, om jeg smider en pind i her eller lige ved siden af? Osv.
Man kan sige meget ved at se på geometrien – ved kvalitative betragtninger, uden at løse ligningerne. Hvilket er heldigt, for vi kan normalt ikke løse dem på pæn form med [tex]x^2[/tex] og sin(x) og andre pæne funktioner.

Hilsen
Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup

numb3rs@math.aau.dk