Double down 2-13

Denne udsendelse bygger delvis på virkelige begivenheder. Der har faktisk været teams af matematikere (studerende), som har udnyttet, at man har en fordel i Blackjack, hvis man kan holde styr på, hvilke kort, der er gået. Og hvis man holder hovedet koldt og satser, som man bør ifølge sandsynlighedsteoretiske beregninger.

Men først lige lidt om det eksperiment, Charlie, Amita og Larry laver i starten. Det er det berømte cola og mentos eksperiment: Tag en 2-liters Cola light. Gør et rør med 6-7 mentos klar. Dump alle mentos i colaen, når den er åbnet. Resultatet er forrygende- et kæmpe springvand. Se f.eks.her. Der er adskillige videoer på YouTube, og Mythbusters har eksperimenteret med det. Se også Eepybird, hvor de viser en video med flere hundrede colaflasker og to fyre i kitler. Mythbusters fandt, at cola light er bedst, og at man kan bruge andet end Mentos. Men en ting er sikkert: Det sviner helt enormt, så gør det udenfor, og giv ungerne regntøj på…

Tilbage til Blackjack:

Charlie og især Larry kender historien bag, og refererer til to bøger:
Beat the dealer. Af Edward O. Thorp.

Busting Vegas: The MIT Whiz Kid who brought the Casinos to Their Knees. Af Ben Mezrich.

Blackjack er et kortspil, hvor det gælder om, at værdien af ens kort er tættere på 21, end “dealerens”. Ryger man over 21 er man ude (har tabt sine penge). Man modtager kort et af gangen og kan sige stop, satse mere etc. efter ret simple regler, som jeg ikke vil gå ind i. Det kan I selv slå op.

Billedkort tæller 10, esser tæller 1 eller 11 og andre kort har den værdi, de lyder på.

Korttælning

Man spiller med seks spil kort, og jo længere tid, man har spillet, jo mere information har man om, hvad der er tilbage, og dermed om sandsynligheden for at trække et kort med værdi 10 f.eks. Ved at satse efter den viden, har man en fordel.

Dealeren skal blive ved med at trække kort, til hun er på mindst 17, og må ikke trække flere, når hun er over 17. Derfor har spillerne en fordel, hvis der er forholdsvis mange store kort tilbage. Hvis dealeren allerede har 16 og skal trække endnu et kort, er hendes risiko for at ryge over 21 og dermed tabe, stor, hvis der er relativt mange store kort i bunken. Og der skal man altså satse.

Casinoerne ved godt, at der er denne fordel, og de holder øje med, om der ser ud til at være “korttællere” ved bordene. Og så bliver man smidt ud; hvis man er heldig… Larry fortæller om at være blevet truet, og det er der andre beretninger om. Det er nok ikke folk med hang til blød pædagogik, der ejer casinoerne!

Korttælning kræver ikke, at man husker alle de kort, der er gået! Der er forskellige systemer. Et simpelt et (det, Larry fortæller om) går ud på, at man tæller +1 for hvert kort med værdi 2, 3, 4, 5 eller 6. Man tæller -1 for esser, billedkort og 10’ere, og man holder kun styr på den samlede værdi. Er den positiv, er der flest høje kort tilbage. Den samlede værdi bliver ikke så høj, fordi man holder sig til at lægge en til eller trække en fra, så det er lettere at have i hovedet.

Mere avanceret kan man have flere værdier end plus og minus 1, man kan holde særligt styr på f.eks. esserne osv.

Den samlede værdi skal så matches med, hvordan man bør satse. Og titlen på udsendelsen, “Doubling Down” refererer til, at man fordobler sin indsats og modtager præcis et kort mere. Man kan også satse halvdelen af sin indsats på, at dealeren har blackjack (Et es og et tierkort). Dermed har spillerne muligheder, som dealeren ikke har.

Simon Singh (forfatter til bl.a. Kodebogen) har været i Vegas for at afprøve korttælningsalgoritmer. Det går godt, og han vinder alt i alt, men ikke voldsomt mange penge.

For virkelig at vinde, skal man have mange penge med sig: Man skal have nok til at blive ved med at spille. Den fordel, man har i gennemsnit, siger ikke, at man vinder hver gang, men at man på langt sigt vinder.

De MIT-studerende, som omtales i serien, havde forskellige sponsorer, som fik dele af gevinsten. Hvor god en investering, det var, kan man ikke blive klog på på nettet, hvor nogen klart overdriver, og andre “underdriver”.

Et korttælningsteam kan være organiseret på flere måder. Man kan have korttællere ved flere borde. De signalerer til en spiller, som er med i teamet, hvornår der er fordel ved det bord, de står ved, og hvornår spilleren skal gå til et af de andre borde. Og man kan have en “spotter” ved samme bord som storspilleren. Spotteren signalerer, hvordan der skal satses, så storspilleren kan koncentrere sig om at spille.

Shuffletracking:

Amerikanske casinoer bruger automatisk blanding af kortene. Det blev, så vidt jeg har kunnet læse mig til, (og ifølge Larry i udsendelsen) indført som en reaktion på korttælningsteams i 60’erne, f.eks. teams med forfatteren til bogen Beat the Dealer (se ovenfor).

Shuffletracking er generelt at holde styr på, hvordan kortene er blandet. Man kan ved blanding i hånden, holde øje med, hvad det nederste kort er i bunken. Man ved måske, hvordan et helt nyt spil kort ligger, så man har styr på, hvordan kortene ligger ved starten af et spil med nye kort.

Når casinoet bruger blandemaskiner (en “shoe” er den blanding af kort, der er i en maskine) kan man stadig have en fordel, hvis man ved noget om, hvordan maskinen virker, og har set de kort der gik før man blandede. Det har Persi Diaconis forsket i. Oplagte spørgsmål er: Hvad betyder det, at kortene er blandet godt – er alle rækkefølger af kort lige sandsynlige efter blandingen? Diaconis er statistiker og gammel tryllekunstner og kan selv blande kort meget effektivt. Han løb væk hjemmefra som 14-årig for at følges med tryllekunstneren Dai Vernon (ekspert i kortkunster og kendt for at have kunnet snyde Houdini) , og de to opsøgte alle, der kunne lære dem nyt om korttricks. Efter 10 år på landevejene kom Diaconis tilbage til skole og tog en PhD grad på fem år!

Han har bl.a. bevist, at man ved den blandingsmetode, hvor man deler bunken i to og “folder” dem ind i hinanden, skal gentage det 7 gange for at have en perfekt blanding.

De algoritmer, der bruges i blandemaskinerne er ikke fuldstændig optimale. I 2000 gav et resultat af Persi Diaconis og Susan Holmes anledning til, at mange blandemaskiner blev skiftet ud, eller omprogrammeret. Her er en beretning om det.

Maskinen var en “hyldeblander”. Tag et spil kort og 10 “hylder”. Start i bunden af stakken med kort og tag kortene et af gangen. Det kort, man er nået til, bliver anbragt på en tilfældig hylde, og det bliver tilfældigt placeret enten i toppen eller bunden af stakken, der er der i forvejen. Til sidst bliver de ti stakke placeret tilfældigt efter hinanden. (Det bliver det ikke mere tilfældigt af, for vi valgte jo tilfældigt, hvilken stak kortene skulle i. Så den del af algoritmen udelader jeg nedenfor.)

Det lyder jo meget tilfældigt, men det er det ikke: Se på en af de ti stakke. De kort, der lægges oveni, vil have samme rækkefølge (relativt) som før blandingen, og dem, der lægges i bunden, ligger i omvendt rækkefølge. Så hver stak består af to dele: En i samme rækkefølge som før, og en i omvendt rækkefølge.

Man kunne have blandet kortene lige så godt ved at give hvert kort et tilfældigt tal mellem 1 og 20, samle dem med samme nummer, lægge dem, der har fået et ulige nummer i samme rækkefølge som før, og dem med et lige nummer i omvendt rækkefølge. Dem med 1 og 2 er vores hylde nummer 1 fra før, 3 og 4 er hylde 2 etc.

Hvis vi starter med et spil kort i rækkefølgen spar es til konge, hjerter es til konge, så ruder og så klør. Så har spar es sandsynlighed 1/20 for at komme i stak nummer 1, og dermed i toppen af den bunke, da det ligger først. Så der er sandsynlighed 1/20 for, at spar es stadig ligger øverst efter blanding. Men den skulle være 1/52, hvis det var en ordentlig blanding.

Susan Holmes overbeviste ejerne af casinoet om, at maskinen ikke var god nok, ved at se på følgende væsentlige problem for et casino: Hvor mange kort kan en spiller gætte værdien af, efter et spil kort er blandet en gang i maskinen? Er det blandet ordentligt, kan man gætte ca 4,5 kort i gennemsnit. Men med Holmes’ algoritme, der udnyttede, hvordan maskinen virker, kunne man gætte i snit 9,5 kort, hvis man kender rækkefølgen, før de blandes. Og det overbeviste ejerne. For et nyt spil kort har en bestemt rækkefølge.

Hvorfor putter man så ikke kortene tilbage og blander igen efter hvert spil? Fordi det tager tid, og på de fleste spillere har casinoet overskud (de tæller ikke kort), så jo flere spil, jo større indtjening.

Der kom også flot ny matematik ud af det. Diaconis fandt en formel for, hvor mange kort, der efter blanding kunne forventes at ligge samme sted i bunken af kort som før blanding. Det tog Jason Fulman op og generaliserede: 

Hvor mange par kan man forvente bare er blevet byttet to og to.

Hvor mange er blevet byttet “i rundkreds” (det hedder cyklisk) efter princippet a er kommet på b’s plads, som er kommet på c’s plads,…, som er kommet på g’s plads, som er kommet på a’s plads. (Hvis man har 7 i rundkredsen).

Man kan spørge om mere avancerede ombytninger, og matematikken bag er studiet af gruppevirkninger. Artiklen, som omtales i Numb3rs er formentlig “Descent Algebras, Hyperplane Arrangements and Shuffling cards.” Men der er mange flere.

 I øvrigt snakkede Charlie om “Constraining dynamics”, og det har jeg ikke haft tid til at se nærmere på, men måske kommer der noget om det senere. Det var det, han brugte til at se på, hvor folk vil parkere…