Hej Numb3rs fans.
Nu var der problemer med de danske undertekster på det meste af dette afsnit, men mon ikke de fleste kunne følge handlingen. Ellers bliver det nok genudsendt.
Den gennemgående matematik idag var forfølgelseskurver – Pursuit Curves. Om det bidrog fundamentalt til opklaringen, kan man nok diskutere; men det er i hvert fald ret interessant matematik. Charlie fandt et ekstra punkt på røvernes rute, som FBI ikke havde fundet, og han kunne ikke rigtig selv forklare, hvordan. Det gav ham og Larry anledning til at snakke om, hvor man får sine videnskabelige ideer fra – Larry havde drømt sig til en, og matematikere har generelt også intuition om det felt, de arbejder i, så ideerne kommer ud af det blå, når man har tænkt længe nok og så slapper af.
Forfølgelse og undvigelse, Pursuit and evasion.
Vi har haft flere versioner af forfølgelse og undvigelse tidligere på bloggen. I afsnittet om mørkt stof var det et antal rovdyr og byttedyr, og i Hund og Kat jager en hund en kat ved hele tiden at løbe imod det sted, hvor katten er. Den slags matematik har mange anvendelser – f.eks. militært.
Jeg vil fortælle mere om problemer, der ligner hund og kat problematikken. Et klassisk problem, som skyldes Pierre Bouguer (1698-1758), drejer sig om et handelsskib, der sejler lige ud med konstant hastighed og et sørøverskib, der forfølger det. Sørøverskibet følger en “ren forfølgelsesstrategi” (pure pursuit), idet det hele tiden sejler hen mod handelsskibet. Spørgsmålet er nu: Hvilken kurve i planen følger sørøverskibet? (Vi regner her med, at Jorden er flad…)
Pure pursuit er realistisk for eksempel for falke, der jager et bytte og den kurve, forfølgeren følger, kaldes hundekurven efter den måde, en hund vil løbe efter sin herre (jeg har lige fået hund, og det passer nu ikke….) En smartere strategi kan være at sigte mod et sted, hvor byttet er på vej hen, altså lige foran byttet, som Charlie nævner det under billederne af fly, der jager hinanden. Det overordnede er, at man kan finde forfølgerens vej hvis man kender hans strategi og byttets kurve.
Et andet klassisk problem, som blev stillet i magasinet “Ladies Diary” i 1748, drejer sig om en edderkop, der forfølger en flue, der kravler rundt i en cirkel. Senere (i American Mathematical Monthly, 1920) er det en hund der svømmer efter en and, hvor anden svømmer rundt i kanten af en cirkulær dam.
Der er også en del klassiske undvigelsesproblemer, hvor vi nu ser det fra den forfulgtes synspunkt. For eksempel damen i søen (Scientific American 1965): En ung dame bliver forfulgt af en mand. Hun ror ud på midten af en cirkulær sø. Manden beslutter sig til at vente, til hun bliver sulten. Han løber 4 gange hurtigere, end hun kan ro, så han regner med, han sagtens kan fange hende, når hun når land. Kan han mon det?
Et andet undvigelsesproblem beskriver en hare, der løber fra en ræv på en mark med et træ. Harens strategi er at holde sig bag træet, og ræven løber langs en linie. Hvilken kurve løber haren efter?
Den kvikke læser har nok regnet ud, at det i alle tilfældene vil være vigtigt, hvor hurtigt forfølger og forfulgt løber i forhold til hinanden, og man kan tilføje spørgsmål om, hvad det forhold skal være, hvis man skal undslippe eller fange byttet, alt efter synspunkt.
Hvordan bliver det nu til matematik?( Ynder man ikke formler, så spring ned og se på animationerne)
Vi beskriver en kurve i planen ved en parameterfremstilling: (x(t),y(t)), hvor t er tiden. Man kan altså løbe på en linie ved f.eks.
x(t)=t
y(t)=2t+3
Så er man i punktet (2,7) til tiden t=2, og man er i (0,3) når t=0, og man løber med konstant fart. Man kan løbe på den samme linie med f.eks.
x(t)=t^3
y(t)=2t^3+3
hvor t^3 betyder t i tredie.
Her er man stadig i (0,3) når t=0, men man er i (8,19), når t=2. Man løber ikke med konstant fart.
Kald nu forfølgerens kurve
F(t)=( f1(t), f2(t))
og undvigerens
U(t)=(u1(t),u2(t))
Betingelsen om “ren” forfølgelse – pure pursut – siger, at vektoren
U(t)-F(t)=(u1(t)-f1(t),u2(t)-f2(t))
er parallel med forfølgerens hastighedsvektor
F'(t)=(f1′(t),f2′(t))
og man får således en differentialligning, som beskriver forfølgerens hastighedsvektor udfra forfølgerens position og undvigerens position. Hvis forfølgeren løber med konstant fart k, bliver ligningen
F'(t)=k(U(t)-F(t))/|U(t)-F(t)|
eller rettere
f1′(t)=k(u1(t)-f1(t))/|U(t)-F(t)|
f2′(t)=k(u2(t)-f2(t))/|U(t)-F(t)|
hvor |U(t)-F(t)| er længden af vektoren. Hvis vi nu kender U(t) – handelsskibet sejler lige ud, fluen løber i en cirkel etc. kan vi opstille ligningen. Vi har også resultater, der siger, at den slags ligninger har løsninger (under passende forudsætninger om U(t)), men generelt kan vi ikke skrive en løsning op med pæne formler.
Til gengæld kan vi få en computer til at regne en løsning ud stepvis: Man lader forfølgeren gå et lille stykke langs linien, der peger mod undvigeren. I mellemtiden har undvigeren flyttet sig, så man får en ny linie, man løber et lillebitte stykke ad. Og så fremdeles. Man laver altså en kurve af små bitte stykke linie. Det kan gøres lidt mere intelligent, end beskrevet her, og man kan få en løsningskurve, der er så tæt på den rigtige, som man vil have det.
Fra mathworld.wolfram.com, Eric Weisstein’s Mathworld har jeg hentet følgende animationer:
OBS: Jeg har tekniske problemer lige nu, men I kan se de animationer på Mathworld om Pursuit Curves
Der er en, hvor U(t) er en linie gennemløbet med konstant hastighed, og der er fire forskellige, hvor U(t) er en cirkelbevægelse og forfølgeren starter forskellige steder og med forskellig fart.
Løsningen til de andre problemer kan man f.eks læse om i bogen “Chases and Escape, The mathematics of Pursuit and Evasion.” Damen i søen ror f.eks. ud ved i et stykke tid at holde sig diametralt modsat af manden, mens han bevæger sig rundt om søen. Når hun er langt nok ude, og han ikke har tid til at løbe hele vejen (den halve cirkel) rundt, ror hun direkte ud mod bredden. Hendes hastighed skal være mere end 0,241453 gange mandens hastighed, for at det lader sig gøre. (Det underlige tal er 1/(1+pi)) Hvornår, hun skal skifte og ro direkte, afhænger af forholdet mellem hastighederne. Man må håbe, hun løber hurtigere end ham, eller at der ikke er langt til sikkerhed, når hun er kommet i land – ellers duer det jo ikke. Men nu er det jo også et teoretisk problem…
Biller i en polygon:
Et andet klassisk problem er problemet om de 3 hunde – en i hvert hjørne af en ligesidet trekant, eller de fire biller i hvert hjørne af et kvadrat eller … Hver bille forfølger den bille, der er nærmest ved i retning mod uret. Det giver et flot spiralmønster, faktisk logaritmiske spiraler. Den slags kombinationer af individer, der forfølger hinanden, bruges også til at forklare, hvorfor “myrens fodsti” bliver sådan en pæn kurve – den rettes ud af, at myrerne hver især forfølger myren foran dem. Et eksempel på flokopførsel, som vi også har haft tidligere på bloggen.
Der er animationer af billeproblemet på Mathworld (hvor det i øvrigt er mus, der forfølger hinanden). Og på Science News i Ivars Petersons klumme kan man læse om hvordan man laver flotte mønstre udfra billeproblemet. Charlie havde et problem med en hund, der jager en kat, der jager en mus, hvor hunden bør gå efter musen, for så kommer katten. Det gav Don og Co. ideen til at forsøge at være foran – den havde de nu nok fået alligevel, men pyt. Til gengæld er det da ret spændende nu, hvor Megan er kidnappet! Så en fin start på Numb3rs for foråret, bortset fra de manglende tekster – det må være irriterende for folk, der ikke behersker engelsk/amerikansk.