Afstandsmål, metriske rum

Afstande skal ikke altid måles med en lineal og langs en ret linie.
Det kan f.eks. være mere relevant at bruge den tid, det tager at komme fra et sted til et andet, og måske kan afstanden så afhænge af, om man har bil eller skal bruge tog og bus.

Forbryderen i Pilotprogrammet for Numb3rs vil helst gå, hvor der er mange mennesker, og det giver så et andet afstandsmål, end hvis man f.eks. ville gå, hvor der var noget pænt at kigge på, eller hvad men nu kan forestille sig.

Definitionen af afstand er som følger:
Et afstandsmål (en metrik) er en funktion
d:M x M &#rarr; R (M er punkter, man vil måle afstand imellem; når man skriver M x M, tager funktionen to punkter ind. Den giver et tal ud: R er de reelle tal)
d(a,b) betyder altså afstanden fra a til b
d skal opfylde
d(a,b) er altid positiv eller 0.
d(a,b)=0 hvis og kun hvis a=b
d(a,b)=d(b,a) (afstand fra a til b er den samme som fra b til a)
d(a,b) er mindre end eller lig med d(a,c)+d(c.b) (det er kortere at gå direkte fra a til b, end at skulle via et tredie sted, c)

Her er et eksempel:
Tag et stykke kvadreret papir og tegn et koordinatsystem ind. Hvis nu man kun må gå på stregerne – det er vejene – så bliver afstanden fra punktet med koordinater (0,0) til det med koordinater (2,2) ialt 4. (Prøv selv.) Hvis vi havde brugt linien direkte mellem punkterne, ville vi få afstand kvadratroden af 8 (cirka 2,83).
Hvis man bygger større boligblokke på det ternede papir, så man nu har færre veje at gå på, får man igen andre afstandsmål. Bliver der mon kortere eller længere?

Hilsen Lisbeth Fajstrup www.math.aau.dk/~fajstrup