2-19 Mørkt stof (Dark Matter)

Der var matematik i brug på flere måder: Alle gymnasieelever havde en RFID (Radio Frequency IDentifier) i deres studiekort, så man kunne følge dem rundt på gymnasiet. Og Charlie brugte “Pursuit Evasion pattern” til at konkludere, hvor dem, der skød, var; udfra hvor dem, der blev skudt efter, befandt sig.

Om RFID

Der er et helt website: RFID-vidensbank under Teknologisk Institut, hvor man kan læse om denne teknologi, som åbenbart er i brug mange steder og er på vej frem. Grundlæggende er princippet, at man kan aflæse data fra en RFID-tag, når den kommer forbi en RFID-læser. Data i taggen er en slags identification af netop den tag, som så kan oversættes i det underliggende computersystem til, at det er mig, der går forbi, at det er en kasse med vin indkøbt til Føtex, at det er et brev på vej til Randers eller hvad man nu forestiller sig. Det er altså en slags stregkode, som man kan aflæse, når den passerer forbi. Hvor tæt , man skal passere forbi en læser, afhænger af typen af RFID, og ændrer sig vel også med tiden, efterhånden som teknologien udvikler sig.

Personligt får jeg kuldegysninger ved tanken om så megen overvågning af mig og alt fra mine nye sko til mine børn. Men som med al den slags teknologi, handler det om balance mellem privatlivets fred og ønsket om effektivitet, og måske også sikkerhed – man bruger også RFID i pas. Læs mere på ovennævnte site om både pro og contra vedr. RFID. Se under artikler.
Matematikken kommer ind, når man f.eks. skal sikre, at den information, der er i RFID’en også er den, der opfattes af læseren – det er området kodningsteori. Og der er også matematik i sikkerheden bag systemerne: Hvem har adgang til information om, at jeg bruger størrelse 39 i sko, og kan den information samkøres med, hvilke bøger, jeg låner på biblioteket, eller hvordan sikrer vi, at det ikke kan ske. Der er meget om RFID-sikkerhed på nettet, for eksempel her . Sikkerhed dækker ofte over, at der er problemer i matematik, som er vanskelige at løse. Og at man, for at bryde ind i systemet skal gøre noget, der er lige så svært som at løse et af disse svære problemer. Se for eksempel dette tidligere indlæg på bloggen, hvor kryptering behandles.
I øvrigt har jeg lige læste en artikel i Notices of the American Mathematical Society, hvor Neil Koblitz beskriver forholdet mellem kryptografi og matematik, herunder “beviser” for sikkerhed. Han nævner “the Rump sessions” ved Crypto konferencerne. Det er korte underholdende præsentationer, hvor man i år havde mulighed for at få sit indlæg optaget til Journal of Craptology(!). I starten blev de ledet af Whitfield Diffie, som er en af de to ophavsmænd til kryptering med offentlig nøgle. Han måtte bl.a. specificere, hvilke ting, det var ok at kaste efter foredragsholderen. Det lyder ret morsomt, og samtidig er det seriøse resultater. Jeg overvejer, om ikke jeg har valgt den forkerte gren af matematikken.

Pursuit Evation eller røvere og soldater.

Der er en hel problemkreds, som kaldes Pursuit evasion problems. Generelt er problemet at give algoritmer til at “fange så mange som muligt”. Man kan spørge, hvor mange, der skal til, for at fange alle, der er trængt ind. Hvor hurtigt, man kan gøre det. Kan man sikre, at der ikke har gemt sig nogen bag en, når man er gået igennem et område. Etc. Man kan have forskellige forudsætninger: Hvor stort synsfelt har forfølgerne, hvor hurtigt bevæger de to parter sig, hvad bevæger de sig rundt i etc.
Tidligere på bloggen har jeg vist eksempler på “hund og kat” problemet, hvor en hund jager en kat, og man specificerer noget om kattens bane og hundens hastighed. Og man kan benytte spilteori i det såkaldte gemmeleg eller hide and seek problem, søg selv i bloggen. Det er klart, at den slags spørgsmål er interessante for militæret, men mere fredelige anvendelser kan også være målet. Find selv på nogen.

Charlie nævner rovdyr-byttedyr modeller kombineret med “pursuit-evasion”.
Rovdyr-byttedyr modeller er differentialligningsmodeller, hvor ændringen i antal af en art afhænger af dels, hvor mange, der er af den ene og dels hvor mange der er af den anden. Rovdyr formerer sig knap så hurtigt, hvis der er få byttedyr, B(t), og hvis der er mange rovdyr i forvejen. Og der bliver færre (eller i hvert fald en mindre vækst af) byttedyr, hvis der er mange rovdyr R(t).
[tex] R'(t)=-aR(t)+bB(t)R(t)[/tex]
[tex] B'(t)=cB(t)-dR(t)B(t)[/tex]
hvor vi har taget med, at hvor mange, der bliver blive spist/får noget at spise afhænger af produktet R(t)B(t), for de to arter skal jo mødes.

Kombineret med Pursuit evasion, tager man hensyn til, hvor i planen (eller rummet) de to arter befinder sig. Man beskriver altså ikke kun, hvor mange, men også hvor de er. Og byttedyrene flytter sig, når de bliver forfulgt. Det bliver det meget mere indviklet af. Modellen kan f.eks. ligne den, Charlie brugte til at beskrive immigranterne fra Mexico i forrige afsnit.
Byttedyrenes bevægelse modelleres ved, at deres acceleration (i.e., ændring i hastighed) er givet ved
[tex] m vec{v}^{prime}(t)=vec{f}^{align}+vec{f}^{att}-vec{f}^{avoid}-vec{f}^{fric}-vec{f}^{rep}+vec{e}(t)[/tex]

hvor kraft-vektorerne “align” er tendens til at løbe i samme retning “att” er tiltrækning “rep” er frastødning (løb sammen, men ikke oveni hinanden) “fric” er gnidning og “avoid” er undgå forfølgere. det sidste led er et støjled, et stokastisk led.

Man kan så sætte de forskellige kræfter til at afhænge af positionen af alle de andre bytte- eller rovdyr, det kan være ret komplicerede funktioner. Og til sidst sætte en computer til at simulere hele systemet. Jeg fandt en artikel “Dynamics of prey-flock escaping behaviour in response to predator’s attack”, Lee, Pak og Chon. I Journal of Theoretical Biology, vol. 240. Men der er mange andre referencer. Det er en væsentlig pointe, at selve implementationen, altså det at få en computer til at “regne det ud”, er en stor del af arbejdet. Det er ikke bare at trykke på en knap på lommeregneren. Man kan bruge modellen ovenfor til at se, hvordan fisk danner stimer (også hvis der ikke er rovdyr) og fugle flyver i flok (når de er mange nok, som Benny Andersen siger). Det er altså et eksempel på, at mange individer kan give kollektiv opførsel, hvis de hver for sig reagerer på de nærmeste naboer – det, vi tidligere har set som emergensteori.

Charlie illustrerer princippet ved at strø peber på en vandoverflade og der efter hælde sæbe i. Så “flygter” peberet (fordi overfladespændingen ændres). Modeller af denne type bruges også på mindre skala om systemer i kemi eller fysik.
Charlie kombinerer med at eleverne løber rundt på skolen, så der er begrænsninger på bevægelserne. Og man kan ikke se om hjørner, så det giver yderligere komplikationer. Godt, Charlie og Amita er så snu, som de er, for det er bestemt ikke nemt. Og så skal de ovenikøbet regne baglæns og finde forfølgerne udfra, hvor byttet løber hen – et inverst problem.