2-3 Udsendelsen om en “stalker”: Solure og positionsbestemmelse, håndskrift.

Hej Bloggere.
Idag havde Charlie nok at se til, og der var meget matematik på banen: Billedbehandling ved brug af curvelets, positionsbestemmelse udfra billeder af skyggen af en basketkurv, håndskriftsanalyse og nogle bemærkninger om Chvatals galleriproblem.

Positionsbestemmelse via solursprincippet “brugt omvendt”.
Udfra skyggen fra en basketballkurv på to tidspunkter samme dag, bestemmer Charlie, hvor i Verden, basketballkurven befinder sig.
Det er med andre ord udfra solens position på himlen og klokkeslettet, man kan sige noget om, hvor basketballkurven er. Det er det omvendte af, hvad man gør, når man laver solure. Da skal man bruge skyggen til at sige, hvad klokken er, og skyggen afhænger netop af solens position på himlen.

Solens bane henover himlen afhænger af, hvad breddegrad vi er på, og hvilken dag på året det er. Jeg giver en grov forklaring her – mere detaljeret forklaring findes f.eks. på Almanak.
Klik på et sted på Danmarkskortet under linket almanak. Så får man dels de geografiske koordinater (længde og breddegrad) for stedet, og linket “Solens bane og højde” viser bane og højde på netop dette sted. Man kan også vælge hvilken dato, man ønsker banen beregnet for.

I princippet står solen højest på himlen klokken 12, men klokken 12 i Danmark er det tidspunkt, hvor solen står højest ved længdegraden 15 grader. Det kan man se som følger: I England har man den tid, der svarer til længdegrad 0, Greenwich-meridianen. Det tager 24 timer for Jorden at rotere en gang rundt om sig selv, så 360 længdegrader svarer til 24 timer. Altså er en time 15 grader, og 1 grad er 4 minutter. Men vi vil ikke stille på uret, hver gang vi kører en tur mod øst eller vest. Til gengæld passer det ikke, at solen står højest i Aalborg klokken 12. Derfor er der en tidskorrektion. For Aalborg, som ligger på ca. 10 grader længde, er tidskorrektionen -5x4minutter = -20 minutter. Vi ligger 5 grader vest for længdegraden 15 grader. Prøv 3D simulation på linket her. Det viser solens gang over himlen i forhold til en horisontal plan på den koordinat, man har angivet. For Aalborg er breddegraden ca. 57 grader. OBS. Der går lidt tid, før der sker noget, når man skriver “run” – solen skal jo lige stå op først.
På almanakken om soltid er en mere præcis forklaring. Det tager ikke lige lang tid for jorden at rotere fra, at Aalborg vender direkte mod solen til Aalborg vender direkte mod solen igen. Det afhænger af, hvor Jorden er i sin bane omkring solen. Så 24 timer er den tid, det i gennemsnit tager – set henover et år. Læs mere under almanakken – der er også en effekt af, at Jorden er tiltet lidt i forhold til sin bane omkring Solen (ca. 23 grader). Der er forklaringer på mange ting, og beregningerne af solopgang etc. er ikke tabelopslag, men beregnes, når man beder om dem. Den underliggende matematik er f.eks. beskrevet i matlex, hvor man også kan se, hvordan man laver et solur.

Prøv også at vælge timecorrection =0, og vælg Year under 3D-simulation her og lad klokken være 12:00 (når du har åbnet for 3D og year). Det giver en kurve over, hvor solen står på himmelkuglen klokken 12, henover året. Det er ikke i syd hele året, men laver et ottetal.

I programmet lykkes det Charlie at bestemme positionen med en nøjagtighed på 1/100 grad – så må han i hvert fald have styr på sin solursmatematik. Men det har han også, for han og Larry er medlemmer af den amerikanske solursforening. Gad vide, om der er en dansk solursforening.

Matematikken bag regningerne er beregninger på kugleflader. For at vide, hvor skyggen af et basketmål er, skal vi kun kende retningen til solen – afstanden betyder ikke noget. Derfor er solens bane tegnet ind på en (halv)-kugleskal, som repræsenterer alle de retninger, vi kan kigge i fra det punkt på Jorden, hvor vi står. Der er en Nord-Syd akse og en Vest-Øst-akse, og en retning lige opad.
Geometri på kuglefladen er anderledes end den sædvanlige i planen. For eksempel kan man lave trekanter, hvis vinkler allesammen er rette. Og alle trekanter har vinkelsum større end 180 grader. Desuden er omkredsen i en cirkel med radius r mindre end 2 pi r.

Håndskrift og matematik.
At genkende en persons håndskrift er en slags billedgenkendelse. Og det har vi set på tidligere her på bloggen: 9/11-2006 hvor Arne Jensen skrev om Wavelets – eller skvulp. Matematikken bag analyse af håndskrift kan f.eks. være “curvelets”. (Jeg ved ikke, om nogen har et godt dansk ord a la skvulp). I programmet blev curvelets også brugt til billedanalyse. Her er en artikel om klassifikation af gamle manuskripter ved hjælp af curvelets. Ideen er, at der er karakteristiske egenskaber ved hver persons håndskrift, som man kan udkrystallisere ved at beskrive håndskrevne dokumenter som en sum af curvelets. Ligesom man har brugt wavelets til at finde ud af, om et maleri faktisk var af Breughel eller ej. Se lidt om det på bloggen fra 1/11-2006.
Curvelets dyrkes bl.a. på CalTech, hvor matematikerne bag Numb3rs har til huse. Hovedmanden bag curvelets er Emmanuel Candes og hans PhD-vejleder David Donoho. I øvrigt er Charlie’s universitet, CalSci et frit opfundet universitet, men mange optagelser er fra netop CalTech. Man overvejede at lade Charlie arbejde på CalTech, men universitetet forlangte til gengæld at godkende episoderne. Måske er det dårlig PR for et universitet, hvis en TV-serie handler om alt for mange studerende, der tager livet af hinanden eller tilsvarende.

Hilsen Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
numb3rs@math.aau.dk