Numb3rs

Jeg lagde mærke til matematik i Charlies “Hand Path prediction” og i hans klassifikation af de velgørende formål – via et “recommender system” a la dating hjemmesidernes matching af folk.
Frosne græskar
De frosne græskar (frosset med flydende kvælstof) som studerende smed ud fra taget af den bygning, Alan sad ved, er en tradition fra CalTech – søg på “frozen pumpkins caltech” – der er en lille film på youtube og diverse instruktioner. – Det er en tradition fra 70’erne, som holdes i hævd – til Halloween naturligvis… Det videnskabelige indhold er et ordspil: Græskarrene kastes ud fra Millikan biblioteket – The Millikan Pumpkin Drop. Ordspillet går på Millikan eksperimentet, The Millikan Oil Drop, hvor man bestemmer elektronens ladning. Robert A. Millikan fik Nobelprisen i fysik for bl.a. dette eksperiment, og biblioteket på CalTech er opkaldt efter ham.
Han fik en for lav værdi for ladningen, fordi han havde en forkert værdi for luftens viskositet, men han var tæt på…

Håndbevægelser – forudsigelser.
Jeg fandt en artikel om netop det! Intrinsic joint kinematic planning. II: Hand-path predictions based on a Listing’s plane constraint af LIEBERMANN D. G.; BIESS A. ; GIELEN C. C. A. M. ; FLASH T.. De studerer armbevægelser. Det er ret indviklet: Man har en rotation i skulderledet og desuden bevægelse i albuen og håndledet. Forudsætningerne for artiklen ovenfor, er at “Listings lov” gælder, og det studerer forfatterne i Intrinsic joint kinematic planning. I: Reassessing the Listing’s law constraint in the control of three-dimensional arm movements.

Listings lov (og her er det ikke jura, men en lovmæssighed i “naturen”, det gælder) handler oprindelig om, hvordan øjnene flytter sig. Hvis man flytter blikket fra at kigge lige ud (primær position) til et andet punkt i rummet, siger Listings lov, at bevægelsen foregår som en rotation om en fast akse og at der er en fast plan, som alle disse akser ligger i (hvis man holder hovedet stille).

Hvis vi tænker på øjet som en kugle, vil man altså flytte blikket ved at rotere kuglen, men ikke omkring en akse gennem centrum – Listings plan ligger lidt bagved, forstået som længere inde i hovedet, end centrum af øjet.
Tak til Tutis Vilis og Douglas Tweed for billedet, som jeg fandt her.

På billedet ovenfor viser de sorte pinde den akse, øjet drejer sig om, for at nå ud til de 8 positioner yderst. De sorte pinde sidder i Listings plan. Det er altså en rotation, der flytter øjets placering og ikke bare drejer det om sig selv.

Skal man flytte blikket mellem to positioner, som ikke er “kig lige ud”, er bevægelsen mere kompliceret. Det kan man f.eks. læse om her, hvor der også er billeder af gamle mekaniske apparater, der simulerer øjets bevægelser.
Her er “Ruetes ophthalmotrope”

Øjet er (på billedet) fæstnet med skruer i en Listings plan. På nogenlunde samme måde (men ikke med skruer ) sidder vores øjne fast i muskler. Von Helmholtz, som bloglæsere måske kender fra fysik, studerede bl.a. øjets bevægelser udfra en betragtning om, at de skulle foregå med mindst muligt muskelarbejde, og det giver en slags forklaring på Listings lov. Han skrev en bog om “fysiologisk optik”.

En plan rotation kan beskrives ved en vinkel og en omløbsretning – man giver kort med eller mod uret. Rumlige rotationer er mere indviklede.

Lad os se på rotationer omkring (0,0,0). En rotation i en plan kan beskrives ved en vinkel og en omløbsretning – med eller mod uret er forskellig, alt efter om man ser på planen “nedefra eller ovenfra. ”

I rummet skal vi beskrive en rotationsplan ved at give en akse vinkelret på.

Man kan beskrive en akse ved hjælp af et punkt på kuglefladen med centrum i (0,0,0), og så skal man fortælle hvad vinklen er. Så punkterne på kuglefladen samt en vinkel mellem -180 og 180 grader kan beskrive alle de rotationer, der findes. Men nogen af dem er kommet med flere gange – en rotation på +100 grader omkring aksen rettet mod Nord er det samme som at rotere -100 grader omkring aksen rettet mod Syd. (Og tilsvarende om alle antipodiske retninger. Og vinkler)

En anden beskrivelse fås i et 3d koordinatsystem ved at give koordinaterne for hvor hver af akserne (1,0,0), (0,1,0) og (0,0,1) drejes hen. De skal stadig være vinkelret på hinanden efter rotation, og udgøre et højrehåndssystem: (tommel, pege og langefinger kan kun anbringes på en måde, hvis de skal stå vinkelret på hinanden  og man ikke skal anstrenge sig for meget), så faktisk kan man nøjes med at angive, hvor de første to drejes hen, så kan man regne ud, hvor den tredje ender.

Mængden af alle rotationer i rummet kaldes SO(3), og de rotationer, der opfylder Listings lov, er en delmængde af SO(3). Det er meget mere end en mængde, der er meget mere struktur – man kan f.eks. sammensætte to rotationer og få en ny rotation (en rotation om en akse efterfulgt af en rotation om en anden akse kan altid beskrives som een samlet rotation – om en ny akse). Desuden kan man give mening til, om man gradvist bevæger sig fra en rotation til en anden – varierer vinklen kontinuert eller varierer aksen kontinuert. (For afficionados: SO(3) er en Lie gruppe)

I computerspil bruges matematiske beskrivelser af bevægelser, og rotationsbevægelser beskrives faktisk ved hjælp af kvaternionerne – se Wikipedia artiklen, hvis du har mod på en lang forklaring.

Recommender Systems – automatiske anbefalinger
Når man på internetboghandlen Amazon køber eller bare kigger på en bog, får man en liste over andre bøger, som man formentlig vil være interesseret i. Og når man har købt mange bøger gennem årene, får man en liste over personlige anbefalinger, når man opsøger sitet.

Algoritmen bag er et “recommender system”. Amazon ved, hvad andre købere har købt, når de lige har købt The Princeton Companion to Mathematics, og det regner de med gælder for mig også.
Mere indviklet bliver det, når de skal anbefale bøger til mig i det hele taget. For hvad siger de samlede køb om, hvilke nye bøger, jeg gerne vil læse. Overordnet set kan jeg lære af andre købere.

Google’s Page Rank giver en rækkefølge af, hvilke websites, man formentlig skal bruge, hvis man søger på f.eks. Numb3rs. Når jeg søger, kommer denne blog højt op, men det er muligvis fordi Google ved, det er mig – i hvert fald ved de, at jeg søger fra en maskine i Danmark. Som I kan se, er det ikke alt om PageRank, der er kendt… Den grundlæggende filosofi er, at gode sites bliver der linket til fra andre sites, som igen er bedst at få et link fra, hvis der er mange, der linker til dem etc. Det kan man læse om mange steder. For eksempel her under Københavns biblioteker, hvor matematikken også beskrives meget simpelt.

Et dating site skal give en prioritering af mulige partnere i deres database udfra det, man fortæller om sig selv. Jeg har fundet min mand på den gammeldags facon, så jeg ved ikke, hvad man bliver spurgt om på sådan et datingsite, men spørgsmålene skal, for at give gode match, være designet udfra, hvad man plejer at skulle vide om hinanden for at blive gode partnere. Og det kan jo være mange ting.

Her er en oversigt over links vedrørende recommender systems.

Nu er der endelig snart sæsonstart på Numb3rs.
Onsdag 11/3 kl. 20 sender Kanal 5 afsnittet Robin Hood, som er afsnit 4-05 i min nummerering og afsnit 66 i deres fortløbende nummerering.
Jeg har set det, og I kan godt glæde jer.

Lisbeth.

Her er traileren for en ny spansk film, La Habitación de Fermat. Filmen er endnu ikke nået her til landet, men den er nået til de engelsktalende lande, hvor den hedder Fermat’s Room.

Da jeg ikke har set filmen, ved jeg kun at den handler om fire matematikere, der havner i et værelse, hvor de skal løse en række matematiske problemer. Væggene rykkes indad, hver gang en løsning udebliver eller er forkert. (Hvis grupperum og kontorer på Aalborg Universitet var indrettet sådan, kunne vi spare en del plads med tiden.) Hilbert, Fermat, Galois og Pascal er forresten navnene på nogle af de personerne i filmen.

Om filmen er god eller ej, ved jeg derfor ikke – men ses, det skal den da.

I December nummeret af politiets blad kan man læse om indsatsen mod IT-kriminalitet i NITEC, det Nationale IT EfterforskningsCenter. Der er ansat tre “IT-nørder”, se side 20-21, artiklen “IT-nørder giver hackere baghjul” i bladet som pdf-fil.
De er ikke matematikere, men lidt Charlie er der nu i dem – og en af dem hedder endda Charly….

Her er en ide til et julegaveønske:The Princeton Companion to Mathematics.
Den kan lige nu fås for 45 pund på Amazon.co.uk. Det var prisen fredag 5/12. I dag, mandag, koster den 69 pund, så man skal altså holde øje…

Det er en kæmpestor bog – mere end 1000 sider. Jeg har selvsagt ikke læst det hele, men det, jeg har læst, er rigtig godt skrevet.
Målet er at fortælle om matematikken som den ser ud nu – hvilke emner er der, hvilke spørgsmål stiller vi, hvad er de vigtigste ideer, hvilken indflydelse har matematik på andre områder og meget meget mere. Der er desuden portrætter af matematikere, artikler om matematikhistorie og meget andet. Ialt mere end 200 artikler skrevet af en imponerende flok matematikere og i et klart sprog, som i mange tilfælde kan læses af folk uden alt for meget matematik på bagen – men med en vis portion stædighed og villighed til at sluge en kamel eller to. Der er uddrag fra bogen på websitet ovenfor, så man kan få en ide om, hvad niveauet er.

Der er en diskussion samt trykfejlsliste på Timothy Gowers’ blog (Gowers er redaktør af bogen – og Fieldsmedaljemodtager ) Find f.eks. en trykfejlsliste.

Et andet julegaveønske, for dem, der ikke orker så stor en bog, kunne være Gowers’ Very Short Introduction to Mathematics. En kort velskrevet bog om matematik, som nogen burde oversætte til dansk!

Numb3rs holder juleferie! Man kan se genudsendelser om eftermiddagen, men nye afsnit må vi vente på. Formentlig til sidst i februar – det er den model, de hidtil har brugt.
I mellemtiden kan I jo se andre krimiserier – der er masser af matematik i, men man skal kigge godt efter!
Jeg har før givet diverse links om matematik, så jeg gentager måske mig selv, men alligevel: Hvis I vil læse om matematik og kan leve med, at det er på engelsk, så er her en stribe gode sider:
Plus Magazines News from the World of Math: http://plus.maths.org/blog/
Plus magazine.
Nrich har lavet en side om biologi og matematik, hvor man kan finde ideer til f.eks. AT i gymnasierne. Og for biologiinteresserede gymnasieelever, der undrer sig over, hvorfor man skal have matematik på mindst B-niveau i en studieretning med biologi på A-niveau. Der er sikkert også noget af det, der kan bruges i flerfaglige projekter med kemi – se her.

Om matematikken i Numb3rs, kan I læse mere hos MathWorld. Det er, som tidligere sagt, rigtig flot lavet.

Og så vil jeg da lige benytte lejligheden til at reklamere for at læse matematik. Man kan ikke gå lige ind i Charlies fodspor, men man behøver heldigvis heller ikke være vidunderbarn! Matematikstudiet kan føre til mange forskellige jobs. Det vil nok overraske mange, at det kun er omkring 1/3 af kandidaterne, der bliver gymnasielærere.
En forholdsvis ny tendens er, at kandidater med matematik bliver “gaflet” til PhD-studier i ingeniørvidenskab. Mange tekniske udviklinger bygger i så høj grad på udvikling af ny matematik, at man har brug for folk med en meget stærk matematiske baggrund. Det gælder også økonomi, hvor matematikøkonom uddannelsen er den direkte vej, men hvor mange bliver ansat med en helt anden matematisk specialisering.
Så hvis du har flair for matematik, så check matematikuddannelserne. Kandidatuddannelser i matematik findes i Aalborg, København, Roskilde, Odense og Århus. På DTU kan man læse ingeniøruddannelser med meget matematik i (og det kan man også i Aalborg). Uddannelserne har mange fælles emner, men har også forskelligheder i både metoder og emner, så se dig omkring .
Og husk, at statistik faktisk er noget andet end at sætte tal ind i et regneark 🙂 Det ved Numb3rsfans jo alt om – der analyseres data med statistiske metoder i rigtig mange af afsnittene. Så det er også et studie, men bør overveje at bruge sine matematiske evner til. Man kan læse statistik i Aalborg, København og Århus.
Matematik-økonomi kan man læse i Aalborg, København, Odense og Århus.

Jeg har ikke lagt links ind, men mon ikke, I finder det – ellers skriv til mig og spørg. Jeg kan enten finde siderne eller ringe til en, der kan…

God jul
Lisbeth.

OBS: Dette postes lidt for tidligt – jeg skal til konference! Så læs det nu ikke i forvejen – der afsløres måske lidt af plottet.
Sikken et væmmeligt afsnit af Numb3rs. De er vist inspireret af filmen Seven, men denne gang uden Brad Pitt og Kevin Spacey.
Det handlede om talmagi, Gematri. Desuden var der en anvendelse af en billedrekonstruktion fra et overvågningskamera. I forbindelse med talmagien blev Fibonaccital og det gyldne snit omtalt, og Charlie nævnte “Små tals lov”, som siger noget i retning af, at hvis man har en stribe tal, kan man altid finde et eller andet system i dem.
Charlie fortalte sin far, at han havde indset, at glæden ved at undervise ikke ligger i at vide en hel masse, men i at se andre lære det.

Fibonaccitallene
Talfølgen 1,1,2,3,5,8,13,21,34,…
hvor man finder den næste term som summen af de to foregående, kaldes Fibonaccifølgen. Jeg har tidligere skrevet om Fibonacci og det gyldne snit her. Det gyldne snit er tallet (1+ √5)/2 og det nærmer man sig, hvis man i Fibonaccifølgen dividerer et tal med dets forgænger, og går længere og længere ud i følgen. Den spiralformede figur, man så på væggen i serien, var en Nautilusblæksprutte. Den er efterkommer efter Ammonitterne, som man finder i forsteninger. Nautilusblækspruttens skal er spiralformet, og spiralen påstås at være en såkaldt gylden spiral.
Alle punkter i planen kan beskrives
x=r cos(v), y=r sin(v)
r er afstanden ud til punktet og v er vinklen fra x-aksen op til en linie fra origo til punktet. En spiralbevægelse kan så beskrives
x(t)=r(t)cos(v(t))
y(t)=r(t)sin(v(t))
I en logaritmisk spiral er r(t)=exp(kv(t)) (hvor exp er eksponentialfunktionen). nautilusskallen er en logaritmisk spiral, fordi væksten afhænger af, hvor stor den allerede er. Læs mere her . Den gyldne spiral fremkommer fra gyldne rektangler:

Fra wikimedia commons. http://da.wikipedia.org/wiki/Gyldent_rektangel

I hvert rektangel er forholdet mellem sidelængderne det gyldne snit. En anden beskrivelse er, at når man fjerner et kvadrat, vil det nye rektangel stadig være et gyldent rektangel: Hvis den korte side er a og den lange kaldes a+b, er (a+b)/a forholdet mellem siderne. Fjerner man et kvadrat med sidelængde a, har det nye rektangel sidelængder a og b.

Ligningen (a+b)/a=a/b omskrives til (a/b)^2-a/b=1, som har løsning det gyldne snit (1+ √5)/2 (og (1- √5)/2, men vi vil ikke have negative sidelængder.)

Der er mange spiraler, der kan tegnes gennem de punkter. Og mange mener ikke, det er den spiral, der forekommer i Nautilusskallen. Se f.eks. V.L.Hansen og L.Andersen i en DTU rapport. Også i Nexus Journal af John Sharp.

Gematria
Talmystik findes i mange variationer – som Hausgaards anekdote om broderen, der nu kalder sig Kurit i stedet for Kurt, fordi han har været til numerolog!
Gematri handler om talmystik i forbindelse med græske og hebraiske bogstaver. man oversætter hvert bogstav til et tal og tager så summen af tallene i et ord og udleder ting fra det. For eksempel har ordet stige på hebraisk samme værdi som Sinai; ergo var det Sinai, Jakob klatrede og ad, da han klatrede op ad Jakobsstigen. Tjah. Mit efternavn Fajstrup har på hebraisk værdien 1070 ifølge Mystical Internet…. Og Lisbeth er 507, som man får oplyst er det samme som flyvende slange, kød, krop og stjerne; hmmm, der er da vist mange muligheder for fortolkninger.
Jeg er helt enig med Larry, som citerer Stephen J. Gould for a man skal holde religion og (natur)videnskab i hver sin kasse.
Men naturligvis kan Amita bruge sin matematik til at gennemsøge telefonnumre efter dem, der har den “rigtige” tværsum – altså den som morderen vil have. Selvom hun ikke selv mener, der er noget særligt ved den tværsum.

Små tals lov
I en artikel , The strong law of small numbers Richard K. Guy, American Mathematical Monthly 1988. Giver matematikeren Guy en hel stribe eksempler på noget, der ligner struktur i en række tal, men som ikke er det. Navnet Strong law of small numbers går nu tilbage til Martin Gardner, som skrev klummer i Scientific American. Det spiller på store tals lov, som er en sætning i sandsynlighedsteori. Hvis man slår med en terning vil man forvente, at man i gennemsnit slår (1+2+3+4+5+6)/6=3,5, og slår man mange gange, vil gennemsnittet af de slag, man har slået, nærme sig 3,5.
Tilbage til små tals lov: Struktur ved første øjekast, men ikke på langt sigt:
Tag polynomiet
(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)/24
For n=1,2,3,4,5 får man 1,2,4,8,16 altså potenser af 2. Men så fortsætter den med 31, 57, 99,…
I relation til Fibonaccitallene: Udregn exp((n-1)/2)) for n=1,2,3,4,5,…. Når det ikke er et helt tal tager man det hele tal, der er nærmest, men større. (For eksempel: Hvis man får 4,333 skal heltallet være 5). Det giver følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,55 altså Fibonacci, men så får man 91, 149 som de næste. Man kan altså nemt blive snydt.
Et meget slående eksempel fandt jeg på The prime pages glossary. Største fælles divisor af tallene n^17 +9 og (n+1)^17 +9 ser ud til at være en. Selv, hvis man tester det for rigtig mange værdier af n. Første gang, det går galt, er for n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433. (Og nej, det har jeg ikke checket. )
I moderne datamining, hvor man har kæmpedatabaser, kan man altid finde en eller anden form for struktur i data. Men det er jo ikke altid, at det har nogen relation til en fornuftig sammenhæng, som f.eks. kan forventes at blive ved med at være der, når databasen vokser. Man skal være meget varsom med den slags struktur. Især, hvis man har tænkt sig at bruge den til at anbefale en eller anden form for reaktion : Spis ikke dette, anhold alle dem, der er rødhårede, eller noget lignende.

Der var en hel masse matematik pakket ind i det computerprogram, der simulerede biler, der kører. Som Charlies far sagde: “Det er da ikke matematik. Jeg kan bare se en computer, der viser hvordan bilerne kører”. Pointen er, som Charlie sagde, at sådan en computersimulering bygger på en matematisk model af, hvordan biler opfører sig under alle de betingelser, man har med. Hvor glat er det, hvad vejer bilen, hvor hurtigt kører den, hvilket udstyr har den (der var noget med et differentiale) etc.
Larry fortalte om et projekt med at gendanne hele støvleaftryk udfra dele. Der var en anvendelse af “Amitas billedgendannelsesalgoritme”. Og så var der en udmærket forklaring på vores problemer med at rekruttere studerende til matematikstudiet: “What would most people rather do? Solve the Riemann Hypothesis or build lasers and robots?”….

Matematiske modeller.
Når man skal regne på virkeligheden eller have en computer til det, har man på forhånd lavet en model af virkeligheden, som man kan regne på. Man skal have analyseret problemet og uddraget det, der kan være væsentligt at have med i modellen. Eksempelvis betyder farven på bilen ikke noget, når man skal regne på køreegenskaber. Men for andre egenskaber kan det være noget sværere at afgøre. Hvor vigtigt er dæktrykket? Bilens højde?
Man er nødt til at begrænse sig – har man for mange parametre med, kan man måske ikke regne færdig i rimelig tid (hvad der er rimeligt kan igen være forskelligt: Skal man have en computer i bilen til at styre den, skal den helst kunne regne rigtig hurtigt. I den simulering, de lavede i serien, kunne de nok godt vente et par timer.) Har man for få parametre med, er resultatet af udregningen måske for upræcist.
Gode numeriske algoritmer, måder at regne på i computeren, er selvsagt også vigtige. Simulationer af netop bilkørsel kender mange fra diverse computerspil – og mange andre simulationer bruges i netop computerspil.
Den matematik, der skal bruges til at regne på en bil, der kører rundt om et hjørne, er kompliceret. Dækkene ruller, de ruller ikke lige hurtigt, der er gnidning mellem dæk og vej, etc. For en lang forklaring (på engelsk), se Mathworld.
En vigtig parameter, hvis man vil regne på selve uheldet, er energien i et biluheld: Den kinetiske energi af bilen er 1/2 m v^2 hvor m er bilens masse (vægt) og v er hastigheden. Energien afhænger altså af hastigheden i anden. Det går altså mere galt ved en lidt højere hastighed, end man umiddelbart skulle tro. Ved dobbelt så høj hastighed er energien 4 gange så stor. Og den energi skal opsamles i bilens deformationszoner – eller i passagererne.
Charlie refererer til friktionscirklen:

Billedet er fra https://numb3rs.wolfram.com/402/, Mathworlds side om Numb3rs. Cirklen illustrerer grænsen for dækkets gnidningsegenskaber: Indenfor cirklen har man kontrol, udenfor skrider man ud. Grænsen er en længde af den samlede accelerationsvektor a. Og her kan acceleration være negativ (man bremser), den kan være til siden (man drejer). Radius i friktionscirklen afhænger af om vejen er tør, våd eller måske overiset, og den afhænger af dækkene. Pointen er, at hvis man drejer lidt, kan man godt samtidig accelerere, men har man brugt al sin friktion til at dreje, kan man ikke bremse eller accelerere samtidig. Har man set The Stig i Top Gear vil man vide, at det er en kunst at kunne bruge friktionscirklen!

Friktionscirkler bruges også til at regne på egenskaber ved jord. Hvor stejl og hvor høj kan en jordhøj bliver, før den skrider sammen. Se denne reference på engelsk.

Mathematics of Friendship
Charlie bliver ved med at snakke om sin venskabsmatematik. Faktisk er der nogen økonomer, der har skrevet om noget i den retning. Her er en avisartikel The Mathematics of Friendship om deres arbejde. Jeg har ikke læst det. Men mon ikke det er lidt langt ude? Der er en helt ny artikel i Plus Magazine om, hvordan tilid opbygges, og det er jo nok en del af det – som i afsnittet Trust Metric.
Charlie snakker om Appolonian networks, og der henvises formentlig til Andrade, J. S. Jr.; Herrmann, H. J.; Andrade, R. F. S.; and da Silva, L. R. “Apollonian Networks: Simultaneously Scale-Free, Small World, Euclidean, Space Filling, and with Matching Graphs.” Phys. Rev. Lett. 94, 018702-1-4, 2005. Appoloniske netværk er en bestemt slags grafer (ikke grafer for funktioner, men grafer i betydningen her Knuder forbundet med kanter. Man har brugt appoloniske grafer til at modellere hjernen. Modelling the Brain as an appolonian network. Larry siger på et tidspunkt, at han finder Charlies anvendelse af appoloniske netværk langt ude.
Man kan godt lave en graf, der beskriver venskab; Knuderne er personer og der er kanter imellem, hvis de er venner. Sociologer studerer faktisk den slags grafer – hvordan udvikler menneskers relationer sig. Hvem har mange forbindelser – kanter etc. Det havde vi på bloggen her.

Jeg har fået min sæson 4 DVD fra Movie World – herligt. Så nu er jeg igen på forkant!

FBI fik en video, der bl.a. viste en død kvinde i et badekar med ansigtet delvis under vand. Det gav anledning til en del matematik og fysik: Konstruktion af et billede af ansigtet udfra videoen, hvor refraktion i overfladen og andre effekter slørede det. Udregning af en mistænkts volumen udfra vandhøjden, da han lå i vandet med kvinden og da han var stået op.

Der var også noget spilteori (igen) i forbindelse med pengeafpresning. Og de DVD film, man sender ud til skuespillere inden premieren er kodet, så man kan afsløre, hvis de bliver brugt til piratkopiering.

En variation over Archimedes’ lov

En forbryder er så stor som den mængde vand, han fortrænger, når han ligger i et badekar med en prostitueret… Det var en uhyre simpel matematikanvendelse. På videoen kunne man se, at vandet havde stået højere, end det gjorde, da kun den døde kvinde lå i karret. Larry og Charlie satte to mærker – et, hvor vandet gik til med liget i og et, hvor det havde gået til. Så hældte de simpelthen vand i og målte, hvor meget der gik, til at fylde fra det laveste til det højeste af de to mærker. Det var 89,6 liter. De konkluderede nu, at det måtte være en stor mand. Men ved faktisk noget om sammenhæng mellem volumen og højde og om sammenhæng mellem volumen og vægt for mænd. Det er kortlagt i artiklen “Correlation between body volume and body mass in men”, American journal of clinical nutrition 24, November 1971.D.K. Wakat, R.E.Johnson, H.J.Krzywicki og L.I.Gerber. Man målte vægt, højde, volumen (ved at lade dem dykke ned i et kar…) og residual lungevolumen. (Lungevolumen og et estimat af “andre gasser” blev trukket fra volumen, da man ønskede at sige noget om fedtprocent)

Så plottes (højde,volumen) i et koordinatsystem.

Det giver en sky af punkter i et koordinatsystem med højde på x-aksen og volumen på y-aksen.

Man plotter også (vægt, volumen).

Sammenligner man de to skyer af punkter ser de meget forskellige ud. Her er nogen eksempler på dataskyer fra Wikipedia

Tallene ovenfor skyerne er korrelationskoefficienten, som udtrykker hvor god llineær sammenhæng, der er mellem x og y-koordinaten. (altså f.eks. højde og volumen). Ligger punkterne på linie, er korrelationskoefficienten
1, hvis linien har positiv hældning,
-1, hvis hældningen er negativ og
ikke defineret, eller 0, hvis den er vandret.
En mere “udtværet” klat som nummer 3 i øverste række har korrelationskoefficient 0,4 – der er ikke en så tydelig lineær sammenhæng mellem de to variable. Andre typer sammenhæng, som dem, man ser i nederste række skyer, kan man ikke finde med korrelationskoefficienten.

For (vægt,volumen) er koefficienten 0,996, mens den for (højde,volumen) er 0,422. Så Charlie og Larry kan konkludere noget om vægten af ham, der lå i badet, men knap så meget om højden.

Korrelationskoefficienten er et mål for i hvor høj grad, data ligger på en linje.Altså, om der findes a og b, så yi=a+bxi hvor datapunkterne kaldes (xi,yi). Kald middelværdien af xi’erne x og middelværdien af yi’erne y. De to vektorer (x-x)=(x1-x, x2-x,…,xn-x) og (y-y)=(y1-y,y2-y,….,yn-y) er parallelle, hvis datapunkterne ligger på linje, mere præcist har man (y-y)=b(x-x).

Korrelationskoefficienten er cosinus til vinklen mellem de to vektorer. Det drejer sig jo om vektorer i et rum af dimension n, så intuitivt er det måske vanskeligt at forestille sig en vinkel mellem dem, men det er som i dimension 3: Vinklen kan ses i den plan, der indeholder de to vektorer. Man kan udregne cosinus til vinklen som
(x-x)•(y-y)⁄|(x-x)||(y-y)|

Altså skalarproduktet (x1-x)(y1-y)+(x2-x)(y2-y)+…+(xn-x)(yn-y)

divideret med produktet af længderne, hvor |(x-x)|=√ (x-x)•(x-x) (Pythagoras i flere dimensioner)

I øvrigt havde mænd med volumen knap 90 liter højder mellem 170 og 195 i undersøgelsen og vejede ca. 95 kg.

Rekonstruktion af billeder

Det har vi haft på bloggen før. Denne gang snakkede Charlie om refraktion og Snells lov. At kunne korrigere billeder for refraktion er meget væsentligt i anvendelser i forskellige former for scanning, MR og ultralyd f.eks. Det drejer sig om et inverst problem, som Charlie illustrerede med en tyggegummikuglemaskine, som man slog i stykker hvorefter kuglerne spredtes i alle retninger. Pointen var, at hver enkelt tyggegummikugle opfører sig, som den skal iføge fysikkens love, saa man kan i princippet rekonstruere, hvor alle kuglerne var, ved at “regne baglæns”. Og det er samme princip i gendannelse af billeder: Man ved, hvordan det ser ud, hvis man tager en kendt genstand og ser på den gennem vand. Og man vil gerne baglæns; Vi ser en genstand gennem vand. Hvordan ser den så ud. Charlie brugte Snells lov om brydning:

her. Jeg tvivler nu på, det har en effekt, Charlie behøver at tage hensyn til her, men jeg er jo ikke fysiker, så det skal jeg nok ikke kloge mig om…

Spilteori og pengeafpresning
Får I ikke noget om idag. Der er en del artikler om det på nettet – Se f.eks. Why it is so hard to get away with blackmail om en økonomiforelæsning fra 1959 om netop det. Holdt af en ung økonom, som senere forsøgte at stoppe krigen i Vietnam ved at lække “The Pentagon Papers” i håb om at afpresse regeringen – han blev ikke dømt, men blev nok fyret fra sin stilling som militær analytiker.

Jeg er lidt handicappet i denne uge: Vi er gået igang med sæson 4 og jeg har ikke fået DVD’erne, men de skulle være sendt, så i næste uge kan jeg igen se på Numb3rs i forvejen. Dette er skrevet, inden jeg har set afsnittet – så jeg ved ikke, om det er det væsentligste matematik i udsendelsen, men pyt.

Trust Metric
Titlen på afsnittet refererer til måling og udregning af tillid. Mere præcist drejer det sig om at automatisere effekten af, at man stoler mere på en person, som en ven siger god for, end på en tilfældig person. Man har brug for at automatisere den slags “videreførelse af tillid”, når man f.eks. skal vurdere udbydere på ebay eller websider. Google tildeler alle websider et tal, som er udregnet ved den berømte PageRank algoritme. PageRank af en webside afhænger af, hvor mange andre sider, der linker til siden og af, hvor mange, der linker til dem etc. Det vil jeg ikke beskrive nærmere her. Der er en beskrivelse på dansk her. Når man søger i Google er den side, der kommer først i resultatet, den, der indeholder søgeordet og har højst Pagerank. Man kender ikke helt algoritmen bag Page Rank – den er patenteret og delvis hemmelig, så man ikke kan snyde den, eller det i hvert fald er svært at få sin www side op øverst ufortjent.

Illuminations problemet
Man forestiller sig et rum, hvis vægge er lavet af spejle, som reflekterer lyset. Kan man så altid finde et punkt, hvor man kan placere en lyskilde, så lyset når ud til alle andre punkter. Kan man måske nå ud til alle punkter ligegyldigt, hvor man placerer lyskilden?
Svaret afhænger selvfølgelig af rummets facon. I 1958 konstruerede Roger Penrose et eksempel på et rum, der altid ville have mørke områder, lige gyldigt hvor, man placerede en lyskilde.