Hej Bloggere.
På onsdag 28/2 starter Numb3rs sæson 2, og der bliver liv i bloggen igen. Første afsnit hedder Judgment Call. Mere på onsdag aften.
Lisbeth numb3rs@math.aau.dk
PS. Til nye læsere. Man kan ikke lægge kommentarer – den funktion er slået fra, da det væltede ind med spam. Men skriv til mailadressen ovenfor, hvis I vil kommentere noget.
Jeg har fundet et par links om emner, jeg før har haft oppe her:
Om FBI’s fingeraftryksdatabase
Jeg fandt det link på Mathematical Moments, hvor den amerikanske matematiske forening har mange andre gode links om anvendelser af matematik.
Om poker: I Politiken forklarer Sune Berg Hansen, at Le Chiffre regner forkert i den nye James Bond film. (Læs ikke artiklen, før du har set filmen – der afsløres en del om handlingen).
Hilsen Lisbeth.
numb3rs@math.aau.dk
Hej Bloggere.
Numb3rs holder desværre lidt længere juleferie, men kommer med garanti fra Kanal 5 tilbage senere på foråret.
Jeg skal holde jer orienteret, hvis jeg hører nyt.
Hilsen og godt nytår
Lisbeth.
numb3rs@math.aau.dk
Numb3rs holder juleferie, og det gør bloggen også. Næste sæson har masser af matematik, så det kan vi godt glæde os til.
I kan jo ønske jer DVD’en til jul for at undgå abstinenser.
Her er et par links, I kan følge, mens vi venter:
God Jul
Lisbeth Fajstrup www.math.aau.dk/~fajstrup
numb3rs@math.aau.dk
Der blev nævnt en del matematik i denne udsendelse. To fanger var stukket af, efter en fangetransport var involveret i et færdelsuheld. (De ringede overraskende nok ikke efter Tommy Lee Jones, som ellers altid er så god til at finde bortløbne fanger 🙂 )
I en analyse af selve uheldet omtalte Charlie og Larry Markov processer og Chapman-Kolmogorov’s sætning.
Der var en scene, hvor Charlie holdt forelæsning “Matematik for ikke-matematikere”. Om Monty Hall problemet.
Og i en analyse af, hvor den ene af de bortløbne fanger var blevet set (den anden havde de fanget), brugte Charlie efter sigende Bayesiansk analyse af clusters.
Først om Markovprocesser. Et system (i udsendelsen var det en fangetransport, en pickup truck og en anden lastbil) studeres til forskellige tidspunkter t1, t2, t3, … og man kan observere dets tilstande (Fangetransporten kører i inderbanen eller yderbanen, bremser eller bremser ikke, accelererer eller ikke, etc. og det samme med de andre køretøjer.) I en Markovproces afhænger systemets tilstand i næste tidspunkt kun af, hvad den er nu, og ikke af, hvad den var for lidt siden. Man har overgangssandsynligheder:
Eksempel: Hvis fangebussen er i inderbanen nu, er sandsynligheden 0,8 for, at den er i stadig er i inderbanen til næste tidspunkt (og altså 0,2 for, at den er i yderbanen). Hvis den er i yderbanen, er sandsynligheden 0,4 for, at den stadig er i yderbanen til næste tidspunkt, og 0,6 for at den er i inderbanen.HOP OVER HER, hvis du ikke er bekendt med matricer. Man skriver en matrix
første række 0,8 0,2
anden række 0,6 0,4
Anvendelse af Chapman-Komogorovs sætning siger her, at overgangssandsynlighederne fra et tidspunkt til to step længere fremme, findes ved matrixmultiplikation (man kvadrerer matricen ovenfor), så man får
første række 0,76 0,24
anden række 0,72 0,28
Ganger man matricen med sig selv 8 gange, får man
første række 0,75 0,25
anden række 0,75 0,25
(afrundet), og det ændrer sig ikke hvis man ganger sammen 9 gange (bortset fra på det, jeg har afrundet væk). Det indikerer, at man på langt sigt vil ligge i inderbanen 3/4 af tiden.
Der er lidt at overveje her: Hvordan kan man vide, at man stadig har overgangssandsynligheder, når man ganger matricen med sig selv (i.e., at summen af elementerne i rækkerne stadig er 1)? Hvad nu, hvis man ganger to forskellige matricer sammen, der begge har rækkesum 1?
I et større system vil man have mange flere variable og tilstande – f.eks. vil fangebussens placering vel afhænge af de andre køretøjers placering og hastighed m.v.
Desuden vil man mere generelt have kontinuert tid;
Systemet er så Markov, hvis P(fremtid|nutid og fortid)=P(fremtid|nutid). (Og så er Chapman-Kolmogorov mere imponerende) Læs mere ved f.eks. at google overgangssandsynligheder og Markov.
HOP PÅ IGEN HER:
Senere er der en analyse af fangens færden i Los Angeles. Der er en hel masse data om, hvor han er set og hvornår, og Charlie analyserer dem ved at samle dem, som kan optræde sammen: Hvis en observation er, at fangen er set klokken 9 i den ene ende af byen, og en anden, at han er set klokken 9.02 i den anden ende af byen, er de enten unøjagtige, eller den ene er forkert. Charlie analyserer, hvilket mønster af observationer, der er det mest sandsynlige. Det er en cluster analyse: Man ser, hvilke data, der kan optræde sammen i en klump (en cluster) og genererer større og større grupper af data, hvor hver gruppering har en vis sandsynlighed. Man kan læse om den slags på Wikipedia, hvis ellers engelskkundskaberne slår til. Se under f.eks. cluster analysis.
Og så var der Monty Hall – den med gederne og bilen. I et TV-program kan man vinde en bil eller en ged. Der er tre døre, og bag de to står der en ged, mens der er en bil bag den sidste. Deltageren vælger en dør. TV-værten (det er ham, der hedder Monty Hall) åbner ikke den dør, men en anden, hvor der står en ged; og han tilbyder deltageren at vælge om og tage den anden af de to døre, der ikke er åbnet. Det overraskende er, at det faktisk gør en forskel, om man skifter eller ej. Man skal skifte! Charlie forklarer, at sandsynligheden for, at der står en ged bag den dør, man valgte først, jo stadig er 2/3 (der var to med geder og en med en bil), og altså 1/3 for, at der er en bil, skal man skifte til den sidste dør – der er der med 2/3 sandsynlighed en bil. Det er helt imod intuitionen (også min), men det skyldes altså, at man kan snyde intuitionen. Det, vores intuition har det svært med, er, hvordan man kan bruge den ekstra information, der ligger i at få udpeget en dør med en ged bagved.
Der er tre muligheder for placering af bil og geder:
(Ged, Ged, Bil), (Ged, Bil, Ged) og (Bil, Ged, Ged).
Har jeg valgt den første dør, vil det i de to første tilfælde være bedst at skifte, når TV-værten har vist mig en dør med en ged. Kun i det sidste tilfælde er det dumt at skifte.
En anden måde at sige det på er: Når man skal vælge, er der 1/3 sandsynlighed for en bil bag hver af de tre døre. Ved at åbne døren med geden koncentrerer værten de 2x 1/3 sandsynlighed, der var for en bil bag de to sidste døre til den dør, vi ikke har valgt.
Man kan spille Monty Hall på nettet eller man kan få en kammerat til at lægge to stykker vingummi og et stykke lakrids under tre kopper og selv lave eksperimentet (jeg kan bedst lide lakrids). Man skal ikke lave det mange gange, før man ser, at strategien med at skifte hver gang er langt den bedste.
I øvrigt blev problemet berømt/berygtet i USA, da Marilyn Vos Savant nævnte det i sin klumme i en avis. Hun er nævnt i Guinness Rekordbog som den, der har verdens højeste IQ. Hendes forsøg på at gøre sig klog på Fermats sidste sætning var nu ikke heldigt – noget gedigent vrøvl faktisk- så det er altså ikke nok at have en høj IQ; men det vidste vi vel også godt.
Mvh
Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
Mail til numb3rs@math.aau.dk
Hallo på bloggen.
Dette program handlede mest om analyse af radarbilleder.
Charlie og hans Ph.D. studerende, Amita, brugte en “Squish squash” algoritme til at finde et meget svagt signal.
I et radarsignal er der altid støj, altså en del af signalet, som ikke kommer fra et objekt, man vil have med på billedet; det skal altså sorteres fra. Hvis nu det, man gerne vil se, ligner støj, risikerer man at sortere det fra sammen med støjen. Titlen på udsendelsen, “Noisy edge” refererer netop til det, at man forsøger at finde noget, der ligger “på kanten” af støjen i signalet.
Det er altså signalbehandling, der er tale om her: Hvordan man filtrerer et signal – radar eller andet – så den ønskede information står klart og uden “støj”.
Squish squash er et kælenavn for en avanceret metode, der er udtænkt af Michael Kouritzin fra University of Alberta i Canada. Den matematiske branche, det hører under, er sandsynlighedsteori – som sagt før: langt fra min boldgade. Men jeg støtter mig til min amerikanske blogkollega og forsøger alligevel:
Et fly, som giver et svagt signal, vil se anderledes ud på radaren end støj; det vil vise sig på flere radar billeder, men vil have flyttet sig fra et til det næste. Så et svagt signal, der dukker op på noget der kunne være en flyrute, skal ikke sorteres fra som støj. Vi skal altså se efter mønstre. Vi kan vælge en funktion g, som sandsynligheden for, at to signaler i to radar “sweeps” har noget med hinanden at gøre, i.e., ikke er støj. Funktionen g skal varieres, så man kan se forskellige muligheder for sammengæng – og fjerne forkerte sammenhænge. (Der er jo fler muligheder for hastighed og retning for flyet/objektet.)
Variationen af g er “squish squash”.
Teknikken bruges også til placering af mobiltelefonmaster. Ved at bruge squish squash kan man nøjes med færre master – mere om det, hvis jeg enten kan overtale en anden til at skrive om det, eller hvis jeg selv får læst mere.
Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
PS. På Massimo Francechetti’s hjemmeside kan man under downloads finde et par artikler om “continuum percolation”. De har noget med squish squash at gøre, men det er hård kost.
Hej på bloggen.
Idag var matematikken baseballstatistik også kaldet “saber-metrik”. En af pointerne var misbrug af den type statistik i samfundsvidenskab: Kan man forudse et menneskes livsbane/succes udfra, hvor de bliver født?
En forsker havde efter sigende lavet en formel, der lavede netop sådan en forudsigelse.
Det er naturligvis noget vrøvl. Man kan ikke for enkeltpersoner lave den slags forudsigelser. Man kan sige noget om f.eks. sandsynligheden for, at man ender i socialgruppe 1, hvis man er født af forældre i socialgruppe 5, men det siger jo ikke, at det enkelte individ ikke flytter sig. Og den sociale mobilitet ændrer sig med tiden. I øvrigt er mobiliteten mellem socialgrupper iflg. London School of Economics, større i Danmark end i USA og Storbritannien. (Rækkefølgen var Norge, Danmark, Sverige, Finland først og USA og Storbritannien sidst, med lande som Tyskland og Canada et sted midt i.)
At sige, som Larry gør, at man ikke kan bruge statistik til at forudsige, men kun at se bagud, er på den anden side også for simpelt. Han siger, at den menneskelige ånd ikke kan sættes på formel eller noget i den retning. Det skal jeg ikke rode mig ud i at diskutere. Men man kan formentlig forudse med en vis sandsynlighed, hvordan en spiller vil præstere i en baseballsæson, når man ved, hvad han har gjort før. Hvis han så brækker armen går forudsigelserne selvfølgelig galt.
Diskussionen i udsendelsen, om man kan regne sig frem til, at man skal undlade at give fancy computerudstyr til skoler i fattige områder, hvor ungerne alligevel ikke har stor sandsynlighed for at “blive til noget”, er et eksempel på, at man skal huske at spørge dem, der har lavet formlerne, hvad de har taget hensyn til – hvilke variable, de har med. Og at det stadig er tilladt at være uening med filosofien og menneskesynet bag formlen. Måske kan man finde en anden forsker, der laver en helt anden formel. Det minder lidt om Niels Hausgaards sang om ham, der “ikke kan betale sig”.
Respekt/ærefrygt for matematik må ikke føre til, at man tror fast på dem, der har regnet løsningen af politiske problemer ud. Man skal turde spørge, hvad de har gjort.
Politik kan ikke erstattes af matematik, men man kan støtte sine beslutninger på fornuftig brug af statistik m.v.
Larry sagde ganske rigtigt, at der er et element af selvopfyldende profeti i det: De har ikke en chance, så vi giver dem dårlige skoler. Og se, vi fik ret, det gik dem ikke ret godt.
Der var også en del om rekonstruktion af data, som var blevet slettet udfra “magnetiske spor”. Det er ret svært at slette data effektivt. Jeg vil prøve at overtale en datalog til at gøre mig og jer klogere på det.
Og der var noget om at aflæse en computerskærm ved hjælp af Van Eck Phreaking. det ser ud til, at man faktisk kan aflytte LCD-skærme udfra deres elektromagnetiske signaler – skræmmende… Hvis nogen af læserne ved noget om det, så skriv gerne og fortæl. (numb3rs@math.aau.dk)
Mpden man taster på skulle være meget individuel, og det brugte de til at finde forbryderen. Jeg tror gerne, at det er individuelt- man kan jo tit høre forskel på folk. Men hvordan de fik aflæst det fra aflytningen af computeren og fra en anden computer (til sammenligning) den fangede jeg ikke.
Hilsen Lisbeth www.math.aau.dk/fajstrup
Hej Numb3rs fans.
Matematikken i dag var bl.a. spilteori, herunder “Prisoners’ Dilemma”, fangernes dilemma. desuden var der lidt fysik – radioaktivt henfald, halveringstid, spredning af 500g Cæsium 137 ved brug af 20 kg trotyl.
Spilteori bruges idag mange steder. Oprindelig var det mest et emne i økonomi, hvor man studerer, hvordan virksomheder eller enkelte mennesker vil opføre sig, hvis de skal have maksimalt udbytte. I spilteori er der flere aktører, og den gode strategi for den enkelte afhænger af de andres strategier. Både omkostninger og indkomst kan afhænge af de andres opførsel.
Et klassisk eksempel er fangernes dilemma:
To personer, A og B, er anholdt, og politiet har ikke nok beviser til at få nogen af dem dømt. Hvis ingen siger noget. Men hvis en af dem tilstår at have været med, og at den anden var den, der skød (f.eks.), så vil ham, der tilstår, få en mindre straf – hvis vel at mærke den anden ikke også har sagt noget.
Her er et eksempel: Hvis begge holder mund, får de hver 1/2 år (noget har politiet alligevel på dem).
Hvis A snakker og B holder mund, går A fri og B får 10 år.
Hvis B snakker og A holder mund, går B fri og A får 10 år. Hvis begge snakker, får de hver to år.
(Det lyder lidt mystisk, men lad os sige, det er i en amerikansk ret med “plea bargain”)
Nu er A’s dilemma: Kan han stole på, at B ikke snakker? I så fald skal A holde mund.
Hvis A og B er meget gode venner, kan A måske regne med, at B vil gøre det, der er bedst for dem begge to; altså holde mund, fordi B også stoler på A. Det er klart bedst for A og B set under et, hvis de begge holder mund.
Men for A alene ser det sådan ud: Hvis B snakker, skal A klart snakke – og få to år. Hvis B ikke snakker, skal A snakke, for dermed at gå helt fri. Det samme for B set isoleret, så de snakker formentlig begge to…
Fangernes dilemma er et såkaldt ikke-nulsums spil. Hvor man ikke har an fast “lagkage” at dele, men størrelsen af kagen afhænger af de enkeltes beslutninger.
På www.gametheory.net kan man “spille” forskellige strategier. Bl.a. Prisoners’ dilemma.
Der er givet flere Nobelpriser i økonomi i området spilteori. Den første var til John Nash i 1994. John Nash portrætteres i filmen “A beautiful mind” og der er en biografi med referencer til den matematik, han ellers har lavet.
I en fantastisk scene i dette afsnit udregner Charlie tre anholdtes individuelle risiko; han står ved et whiteboard foran de tre anholdte og skriver værdien af forskellige variable op for hver af dem (nok et atypisk sted at holde matematikforelæsninger…). Han finder et mål for, hvor meget hver enkelt har at miste ved at skulle i fængsel, og den, der har mest at miste – han er ung, har familie udenfor, har ikke forstraffe etc. – han snakker så. Han siger allerede, mens de andre er til stede, at han vil snakke, men alene det, at de andre er blevet usikre på, om han vil snakke, er i princippet nok til, at de nu selv burde snakke for at optimere situationen for sig selv.
Charlie siger, at den risikovurdering han laver, bruges af banker, når de skal lave gensidige garantier (eller noget i den retning).
For mere information om spilteori: Søg efter “game theory” i Google eller søg på spilteori.
Hilsner
Lisbeth Fajstrup www.math.aau.dk/~fajstrup
PS. Husk nu, at Comments funktionen er slået fra – skriv en mail til numb3rs@math.aau.dk, hvis du har en kommentar.
Hej Bloggere.
Nu kan man få Numb3rs på DVD i region 2 kodning og til PAL-TV standarden.
Man kan f.eks. købe den hos Laserdisken. Det er 1. sæson, altså de første 13 afsnit.
Hilsen og god weekend
Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
OBS: Husk, at commentsfunktionen er slået fra, men I kan sende mails til numb3rs@math.aau.dk
Hej Blogg3re.
I dagens episode var der snigskytter løs i Los Angeles. Der var matematik i spil til at regne på projektilbaner; man skulle tage højde for vindmodstandskoefficienter, som afhænger af kuglen, for vinden, etc. – mange variable.
Først troede Charlie og Don (og alle de andre agenter) at der kun var en snigskytte. De fandt så ud af, at der var mere end en, simpelthen ved at opklare en episode og se, at gerningsmanden til det drab ikke kunne have skudt det næste offer, fordi han var på bar. Det var der ikke meget matematik i. Charlie finder ud af, at det eneste mønster, der er i skudepisoderne, er, at de kommer med kortere og kortere intervaller – at antallet af skudepisoder pr tidsinterval vokser eksponentielt: f.eks. 1 om ugen, 3 om ugen, 9 om ugen, 27 om ugen 81 om ugen etc. Det passer ikke med en snigskytte – seriesnigskytte, som de kalder ham. Man skal bruge tid til at forberede næste drab.
Forklaringen er, at der “går mode” i snigskyttedrab: IHvis man har tænkt sig at tage livet af en anden, så vælger man at skyde ham, fordi det er moderne – der står meget om det i pressen, så man bliver inspireret. Mange efteraber den oprindelige seriesnigmorder. Og det er selvforstærkende: Efteraberne kommer også på TV og inspirerer flere efterabere.
Charlie har dette eksempel, som er knap så makabert: Hvis man har et helt kvarter med hvide huse, og en beslutter at male sit hus blåt. Måske skal der fem huse til, før endnu en bliver inspireret til at male sit blåt. Så først er der 5 huse, så 5+1. I næste uge er der 6+6/5 (det tager tid at male huset, eller man kan godt male brøkdele af sit hus… Hvis der er B blå huse i denne uge, er der B+B/5 =B(1+1/5) blå huse i næste periode og i perioden efter er der B(1+1/5)(1+1/5)=B(1+1/5)^2 (^2 betyder “i anden”).
Starter man med B blå huse vil der efter n perioder (uger) være B(1+1/5)^n =B(1,2)^n blå huse. Det går rigtig hurtigt, som vi så i sidste uge med pyramidespillene.
Dons kollega, som jeg ikke lige kan huske hvad hedder, snakker om et “tipping point”, Gladwells Tipping point. Hun hentyder dermed til bogen “Det magiske Vendepunkt – hvordan små ændringer bliver til store forandringer” af Malcolm Gladwell . Det er et socioøkonomisk begreb, som beskriver et vendepunkt. For eksempel, hvornår noget går fra at være kult til at være mainstream. Nobelpristager i økonomi, Thomas Schelling viste, hvordan en ganske lille preference blandt folk for at have naboer af samme hudfarve, ret hurtigt kan føre til fuldstændig raceopdelte områder. En slags dynamisk system, vil jeg tor – det kigger jeg på i morgen, hvis jeg får tid.
Nok for denne gang
Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
