Numb3rs

Så er der nyt på bloggen igen. Denne gang om udsendelsen fra 11/10 – den fra ugen før bliver omtalt senere.
I “Structural Corruption”, som udsendelsen hed, har en Ph.D. studerende studeret konstruktionen af en høj bygning i byen og muligvis fundet en fejl.
Charlie hænger et pendul op i bygningen, og det bevæger sig i en ellipse, i stedet for at hænge stille. Bygningen svajer altså – det skal de også, men ikke så meget som denne bygning. Udfra den bevægelse, pendulet laver, og kendskab til vindforholdene den pågældende dag, laver Charlie en model af bygningens stabilitet (han har nu nok brugt de detaljerede tegninger af bygningen også.)
Det ser ud til, at bygningen er stabil nok – modellen testes for høje vindstyrker og jordskælv, men med vind, der rammer bygningen diagonalt, skal der ikke nær så meget til, før den kollapser. Det viser sig, at fundamentet er lavet forkert – der er sparet på svejsningerne.

Som forstærkning af bygningen, sættes der en kæmpe betonklods på, som kan stabilisere bygningen i blæsevejr ved at bevæge sig kontra.

Matematiske modeller for vind (og vand og andre strømninger) er uhyre indviklede, og man arbejder med en blanding af eksperimenter i vindtunneller og computermodeller (som den, Charlie laver). (Her er billeder og forklaringer fra Karlsruhe.) De ligninger, man skal løse i computeren, er (partielle) differentialligninger, og det kræver meget snedig matematik at få en computer til at løse den slags ligninger fornuftigt. Abelprisen for 2005 gik til
Peter Lax bl.a. for udvikling af metoder, der bruges i programmer for strømning – så der er brug for langt færre vindtunnelforsøg bl.a til konstruktion af fly.

Charlie gennemskuer senere i udsendelsen, at der er forfalsket ID for mange af arbejderne på bygningen. Der er for meget system i ID-numrene; de må være konstrueret (Der er vist for mange 1 og 4 taller). Jeg tror mange vil kunne se den slags overordnet struktur; om det er noget særligt for matemaikere, ved jeg ikke. Men at man kan se ned over en side (eller flere) og fokusere på problemet, ved at genkende et mønster, er ikke ualmindeligt.

Sidst i udsendelsen henvises til “Occams barberblad”. Det er et princip, som tilskrives en munk og filosof, Guillermi de Ockam, Wilhelm af Occam (eller Ockam), 1285-1347 sådan cirka.
Pricippet er, groft set, at man ikke skal medtage flere hypoteser end nødvendigt; at en simpel forklaring ofte er den bedste. Altså: Hvis to teorier kan forklare de samme fænomener, bør man foretrække den, der har færrest hypoteser som forudsætning. De andre barberes væk.

Plottet i udsendelsen er faktisk meget tæt på en virkelig begivenhed (som ganske vist ikke omfattede drabsforsøg, men en hel udsendelse om et ingeniørproblem havde nok ikke været sagen).
I New York står Citicorp Center. Det er bygget til en bank, og den grund, det skulle stå på, var delvis ejet af en kirke. Der blev indgået en aftale: Skyskraberen, som er 59 etager høj, skulle bygges på 9 etager høje “stylter”, som skulle placeres på midten af siderne i bygningen – ikke i hjørnerne. Og banken skulle betale for at få bygget en ny kirke, som der nu var plads til delvis under bygningen.
New Yorks regler for stabilitet af bygninger krævede på det tidspunkt kun, at man testede for vind, der blæste fra siden af bygningen og ikke ind fra hjørnerne.

Ingeniøren, LeMessurier, der havde designet og beregnet konstruktionen, blev kontaktet af en studerende, som var ved at lave en opgave om bygningen. Han mente, “stylterne” stod forkert. LeMessurier forklarede, at det var regnet igennem, og at diagonale forstærkninger (“braces”) ville sørge for, at kræfterne forplantede sig til netop de søjler.
For at være så stærk en konstruktion som muligt, skulle forstærkningerne svejses sammen.
LeMessurier blev nu selv nysgerrig efter, hvad beregninger for diagonale vinde ville vise, og faktisk blev belastningen på visse dele af konstruktionen (ved samme vindstyrke) 40% større end for vinde vinkelret på bygningen.
Ovenikøbet viste det sig, at entreprenørfirmaet havde besluttet at bruge bolte i stedet for svejsninger; det var ok med vinde lige på, men ikke for diagonal vind. Og under en rigtig storm, ville effekterne muligvis forstærke hinanden, især, hvis bygningen gav sig til at vibrere.
Meteorologer regnede ud, at storm, der kunne vælte bygningen, ville komme hvert 16. år i gennemsnit.
Bygningen blev efterfølgende forstærket – med svejsninger. Der blev lavet evakueringsplaner, hvis nu der skulle komme en orkan, inden arbejdet var færdigt. Højst dramatisk!
Mere om denne historie kan læses på Online ethics
Og i denne artikel fra The New Yorker
I Citicorp bygningen er der faktisk også en stabilisering med en kæmpe (410 tons) betonklods. I forbindelse med forstærkningen af bygningen, sikrede man sig også imod, at det system, der driver klodsen, ville mangle strøm – der blev sat ekstra back up til strømforsyningen

Hilsen Lisbeth, people.math.aau.dk/~fajstrup

PS. Larry, fysikeren, snakkede om Rene Descartes 1596-1650; det er ham, vi henviser til, når et sædvanligt koordinatsystem kaldes “Cartesisk” (eller Kartesisk).

I næste uge er jeg i USA, og der er vikar på bloggen. Det kan give forsinkelser.
Lisbeth.

Lisbeth lovede mere om P versus NP.  Her er en forklaring fra mig (jeg er lektor i datalogi)

Beslutningsproblemer er problemer, hvor svaret er ja eller nej. Eksempler er:

“Er tallet x et primtal?”
“Standser algoritme A for input w?”

Siden 1936 har man vidst, at en stor klasse af beslutningsproblemer ikke vil kunne besvares af nogen algoritme. Heldigvis findes der dog også beslutningsproblemer, der kan besvares med en algoritme.

I teoretisk datalogi klassificerer man beslutningsproblemer efter, hvor hurtig den hurtigste løsningsalgoritme er. Hastighed kalder vi tidskompleksitet. Tidskompleksitet måles i antal skridt, som algoritmen bruger som funktion af inputtets længde.

Hvis en løsningsalgoritme har en tidskompleksitetsfunktion, der er opadtil begrænset af et polynomium, siger vi, at algoritmen har polynomiel tidskompleksitet.

Klassen af beslutningsproblemer med løsningsalgoritmer, der har polynomiel tidskompleksitet, kaldes for P.

Hvis man tillader sin løsningsalgoritme at lave tilfældige gæt undervejs, taler man om en nondeterministisk løsningsalgoritme.

Klassen af beslutningsproblemer med nondeterministiske løsningsalgoritmer, der har polynomiel tidskompleksitet, kaldes for NP.

Det er klart at P er en delklasse af NP, men ingen ved, om de to klasser af problemer falder sammen. Dette problem har været åbent siden 1971.

Det er lykkedes at identificere en stor klasse af såkaldt NP-fuldstændige problemer, der har det til fælles, at de er de “sværeste” problemer i NP. Hvis blot ét af disse problemer viser sig også at være i P, ved vi, at P=NP. Hvis omvendt ét af de NP-fuldstændige problemer er uden for P, ved vi, at P og NP er forskellige.

I lighed med andre store åbne problemer i matematisk forskning har P=NP-problemet ført til udviklingen af megen interessant matematisk teori, her specielt hele det område, der hedder kompleksitetsteori.

Personligt ville jeg ikke give mig til at forsøge at løse P=NP-problemet, fordi jeg var deprimeret. Risikoen for, at jeg ikke fandt løsningen og derfor blev endnu mere deprimeret, er nemlig foruroligende høj.

Hans Hüttel www.cs.aau.dk/~hans

Denne episode er efter sigende også lavet efter en virkelig case fra USA.
Nogle røvere har begået 16 røverier med 2 ugers mellemrum mellem hvert; alle 16 røverier ligner hinanden. Der er altså et klart mønster.
Charlie har forudset to mulige steder for næste røveri ved at bruge, hvad han kalder “Sandsynlighedsmodeller og statistik”. Det ser denne gang ud til at være et direkte problem og ikke et inverst problem – se indlæg fra i morges.

Da det går galt under forsøget på at stoppe røverne, gør Charlie, hvad han åbenbart plejer, når han er stresset eller deprimeret: Han arbejder på problemet om P er det samme som NP (P versus NP kaldes det i serien).
Det er et af de 7 problemer, som Clay foundation udlovede 1 million dollars for en løsning af (1 million for hvert problem…) “Millenium Problems.” Jeg finder et link på dansk om det i morgen – det er ved at være sent. P versus NP handler om kompleksitet af løsning af problemer. Det er måske nok mere et datalogiproblem end et matematikproblem, men grænsen er ikke klar – ligesom den ikke er det mellem matematik og teoretisk fysik.
Hvorvidt det er realistisk at kaste sig over P versus NP, når man er deprimeret, ved jeg ikke, men det er i hvert fald meget realistisk, at matematikere er glade for gammeldags tavler og kridt, ligesom Charlie.

Charlie henviser flere gange til Heisenbergs usikkerhedsrelationer(fra fysik). Han fortolker det som det, at man ændrer på et system ved at observere det. Det er nu ikke lige det, Heisenbergs usikkerhedsrelationer siger. De siger, at visse størrelser (hastighed og sted for visse partikler) i kvantefysik parvis er afhængige, så man, hvis man kender den ene meget præcist, ikke kan kende den anden så præcist – usikkerheden på målingerne er koblet til hinanden (der er en nedre grænse for produktet af usikkerhederne, så hvis den ene er lille, må den anden være stor). Charlie mener nok “The observer effect”

Mere senere
Lisbeth Fajstrup www.math.aau.dk/~fajstrup

Hej bloggere.
Hvis I glemmer at se Numb3rs onsdag kl. 20.00, så fortvivl ikke. Programmet genudsendes torsdag kl.23.00. På Kanal 5 selvfølgelig.
Hilsen Lisbeth Fajstrup. www.math.aau.dk/~fajstrup

I første udsendelse var der en del hentydning til at finde havevanderen givet kendskab til dråberne etc. og jeg (Lisbeth) lovede en bedre forklaring på “inverse problemer”.
Den kommer her – fra Martin Bøgsted Hansen:
Egentligt er princippet ret ligetil: “Givet en handlig hvad er så konsekvensen (det direkte problem), givet konsekvensen og eventuelt ekstra information hvad er så handlingen (det inverse problem)”. F.eks. er konsekvensen af at lægge 2 og 2 sammen, at vi får 4 (det direkte problem), men omvendt hvis vi fik summen 4 ved at lægge 2 til til x, hvad er så x? (det inverse problem). Hvilket ikke er andet end at løse ligningen 4=2+x. Charlie prøver at skrive et sæt ligninger op efter kriminalbetjentenes historiske viden, der beskriver hvor forbrydelser typisk bliver begået givet udgangspunkterne bolig og arbejdsplads (det direkte problem). Når forbrydere efterfølgende skal findes kender man konsekvensen og skal så finde boligen (det inverse problem). Disse problemer er af fundamental betydning i mange videnskaber — typisk i forbindelse med indirekte målinger, som man har ved f.eks. MR og PET scanning i medicin. Fænomenet opstår også når man registrerer lysets afbøjning i tilsyneladende tomme områder af universet, de såkaldte sorte huller, heraf fysikerens motivation til at foreslå Charlie at kigge på denne måde at angribe problemet på.
Martin Bøgsted Hansen www.math.aau.dk/~mbh

I den første udsendelse omtaler Charlie og hans fysikerven både berømte matematikere og fysikere. Her kan man læse mere om dem. (Hvis jeg har glemt nogen, så send lige en mail numb3rs@math.aau.dk) Linkene er til sider på engelsk. Hvis der er noget, det er svært at forstå, så spørg endelig.

Evariste Galois 1811-1832. Den matematiker, der efter fysikerens mening spildte sit liv med bl.a. kærlighed og politik. Galois døde i en duel – det er ikke helt klart, hvad den handlede om, men det var formentlig Stephanie-Felice du Motel, som han var forelsket i.

Richard Feynman 1918-1988. Fysiker, fik Nobelprisen i 1965.

Edward Witten. Fysiker, som bl.a. har fået matematikernes fornemste pris, Fields medaljen. Der er tæt forbindelse mellem teoretisk fysik og matematik. Fysikken giver anledning til ny matematik, og matematikken kan bruges som modeller for fysik. Det er et uhyre frugtbart samspil, og det kan tit være umuligt at se, hvor grænsen går mellem teoretisk fysik og matematik. (Feynmans arbejde har i øvrigt også affødt den slags samspil.)

Niels Henrik Abel 1802-1829. Norsk matematiker. Nåede at lave væsentlig matematik, selvom han døde i en alder af 27.

I hans navn uddeles nu Abelprisen, som er en ny pris i matematik, uddelt første gang i 2003. I modsætning til Fieldsmedaljen, er der ikke nogen aldersgrænse for modtagere af Abelprisen. Man skal være højst 40 år for at modtage Fieldsmedaljen.

Lisbeth Fajstrup www.math.aau.dk/~fajstrup

Afstande skal ikke altid måles med en lineal og langs en ret linie.
Det kan f.eks. være mere relevant at bruge den tid, det tager at komme fra et sted til et andet, og måske kan afstanden så afhænge af, om man har bil eller skal bruge tog og bus.

Forbryderen i Pilotprogrammet for Numb3rs vil helst gå, hvor der er mange mennesker, og det giver så et andet afstandsmål, end hvis man f.eks. ville gå, hvor der var noget pænt at kigge på, eller hvad men nu kan forestille sig.

Definitionen af afstand er som følger:
Et afstandsmål (en metrik) er en funktion
d:M x M &#rarr; R (M er punkter, man vil måle afstand imellem; når man skriver M x M, tager funktionen to punkter ind. Den giver et tal ud: R er de reelle tal)
d(a,b) betyder altså afstanden fra a til b
d skal opfylde
d(a,b) er altid positiv eller 0.
d(a,b)=0 hvis og kun hvis a=b
d(a,b)=d(b,a) (afstand fra a til b er den samme som fra b til a)
d(a,b) er mindre end eller lig med d(a,c)+d(c.b) (det er kortere at gå direkte fra a til b, end at skulle via et tredie sted, c)

Her er et eksempel:
Tag et stykke kvadreret papir og tegn et koordinatsystem ind. Hvis nu man kun må gå på stregerne – det er vejene – så bliver afstanden fra punktet med koordinater (0,0) til det med koordinater (2,2) ialt 4. (Prøv selv.) Hvis vi havde brugt linien direkte mellem punkterne, ville vi få afstand kvadratroden af 8 (cirka 2,83).
Hvis man bygger større boligblokke på det ternede papir, så man nu har færre veje at gå på, får man igen andre afstandsmål. Bliver der mon kortere eller længere?

Hilsen Lisbeth Fajstrup www.math.aau.dk/~fajstrup

Hej bloggere.
Så fik vi matematikeren på banen i kriminalitetsbekæmpelse. Der var meget forskellig matematik i spil, men noget af det, jeg lagde mærke til var:

Mønstre i tilfældigheder: Selvom noget ser tilfældigt ud (man kan ikke forudsige, hvor de enkelte dråber fra havevanderen rammer), kan man se mønsteret, hvis man har set, hvor tilstrækkeligt mange dråber rammer. Det er det princip, Charlie forsøger at bruge til at finde gerningsmandens bolig og arbejdsplads. Matematikken er en blanding af rumlig statistik og inverse problemer, ser det ud til; mere om det senere, for det er ikke mit område!

Et andet begreb, som bruges er afstand. Man skal ikke altid regne med, at afstand er langs en ret linie, som i geometriundervisnigen.
Forbryderen vil gå, hvor der er mange mennesker, og han vil opsøge ofrene på øde steder.
Det giver andre ruter og derfor andre mål for afstand. At indføre andre afstande end den sædvanlige hører under teorien for metriske rum: Man kan finde afstande mellem andet end punkter i plan og rum; f.eks. funktioner.

Den model, han har lavet, testes på gamle sager, hvor man kender det rigtige svar – det er igen et typisk værktøj – og en ret oplagt ide, også selvom man ikke er matematiker… Han tester også, om det “hot spot”, han finder, vil give gerningsstederne med en vis sandsynlighed (og finder derved et problem med et gerningssted).

Et andet karakteristisk indslag er, at Charlie tager fejl i første omgang. Han laver ikke en god nok model af virkeligheden, og derfor giver hans udregninger ikke et godt resultat. Det er meget almindeligt, at matematikere og brugere af matematiske modeller tager fejl, og at modellen skal justeres.

Mere senere (i morgen). Det skal nok blive mere konkret.
Spørg, hvis der er noget, du er særligt interesseret i!

Lisbeth Fajstrup www.math.aau.dk/~fajstrup

PS. Er det realistisk med sådan en model til at finde forbrydere? Tjah, velinformerede amerikanere påstår, at dette afsnit er lavet efter en virkelig case fra USA.