5-13 Trouble in Chinatown

Jeg bemærkede “Forensic Audiology”, Støj filtre, Levy flight path, multilayer encryption. Og desuden noget om, at der var for mange 8-taller på Mah Jong siden med piger til salg. Og for mange 9-taller på den, hvor de skulle sælges som “spøgelsesbrude”.

Signalbehandling, Forensic audiology
Et lydsignal kan være en blanding af mange forskellige lyde. Kender man en af disse lyde, kan man “trække den fra” signalet og få fokus på de andre lyde. Man kan analysere signalet for at finde ud af, hvor det er optaget ved at lede efter lyde fra tog, fly, kraftværker etc. Det er meget smart og meget vanskeligt.
Signalet fra en mobiltelefon (det var det, der skulle analyseres her) er digitalt – man har omsat lyd til tal. Så det drejer sig om digital signalbehandling, DSP (Digital Signal Processing). Amita talte om frekvensområde analyse og forskellige filtre. Matematikken bag signalbehandling er bl.a. Fourier-, Laplace-, wavelets og Z-transformation. Hentydningen til frekvensområde analyse må være til Diskret Fourier transform, så vidt jeg kan se, men til sagen – et lille hjørne af sagen i hvert fald.

Et lydsignal kan se meget indviklet ud. Her er et ikke særlig indviklet eksempel:

Tiden er langs den vandrette akse og lodret afbildes sammenpresning eller udvidelse af luften – en lydbølge er en trykbølge.
På billedet er den røde kurve summen af de to andre, lad os kalde den g(t). Den grønne er grafen for sin(t) og den blå er 1/2 sin(3t). (Jeg har brugt dette eksempel i Guns and Roses). Så i stedet for at fortælle, hvad g(t) er, kunne jeg skrive tallene 1, 1 (for 1 gange sin(1t) ) og 1/2,3 for (1/2 sin(3t)) Hvis vi altså er enige om, at vi vil skrive funktionen som en sum af en masse funktioner a sin(bt) og vil oplyse hvilken sum ved at give listen af a’er og b’er. Det sprer jo meget plads.
Hvis man vil skrive en lyd f(x) som sum af sinuskurver og cosinuskurver,

 

(en uendelig sum  -skal læses a1 cos(1x)+b1sin(1x)+a2 cos(2x)+b2 sin(2x) +…) så gælder det om at finde koefficienterne a1,…. og b1,…. og det kan man ved integration:

og

Det giver ikke altid mening – man kan ikke altid udregne integralerne og den uendelige sum giver ikke altid noget meningsfyldt, og selv hvis den gør, giver den ikke altid f(x). Men det går godt i mange anvendelser, hvor man ikke ser på de syge eksempler, matematikerne kan finde på 🙂

Og hvorfor skulle man dog gøre noget så indviklet? Jo, pointen er, at man i stedet for funktionen f(x) har koefficienterne – an’erne og bn’erne, som måler hhv. vægten af cos(nx) og af sin(nx) i f(x). I eksemplet tegnet ovenfor, er a3=1/2 og b1=1, mens alle andre koefficienter er 0. Man har repræsenteret sin funktion af tiden ved hjælp af frekvenserne, der indgår. Hvis signalet er pænt, vil næsten alle koefficienterne være 0 eller meget små, så man kan undvære dem, uden at lyden ændres.

Diskret Fourier transformation
Hvis man, som i mobiltelefonen har et signal repræsenteret ved en række tal, x0,x1,x2,…,xN (det kunne være højden af grafen for signalet til forskellige tidspunkter med f.eks 1/10 sekund imellem), kan man gøre noget lignende. Ligesom i den kontinuerte version, får man information om “svingning” – sin(7t) svinger hurtigere end sin(t), eller m.a.o. er periodisk med en kortere periode. Diskret Fourier transform afslører også periodicitet i data. Man kan så analysere signalet efter frekvenser – se hvor meget, det ligger i et givet frekvensområde. der er masser af matematik i dette område. Og smarte algoritmer .Eksempelvis Fast Fourier Transform, som udregner diskret fourier transformation (finder koefficienterne). Hvis nogen vil skrive noget om det til bloggen, så sig endelig til.