Numb3rs

I udsendelsen Kidnapning er en del af plottet, at faderen til det barn, der kidnappes, har løst en af de store formodninger i matematik, Riemannhypotesen. Og at han i beviset har lavet en mere effektiv metode til at faktorisere primtal. Det skrev jeg om på bloggen i oktober. Jeg lovede at komme tilbage til Riemannhypotesen, og det gør jeg nedenfor. Men det bliver ret langhåret, så for nye læsere vil jeg anbefale at læse linket tilbage til den oprindelige blogindgang. Og andre
læsere kan muligvis også føle trang til at stå af. Sådan er det med visse af matematikkens store problemer; de er meget vanskelige at forstå.

Riemannhypotesen er et af de syv “milleniumproblemer”, som man kan få en million dollars for at løse. Den har hidtil overlevet i 150 år, og der er rigtig mange matematikere, der har forsøgt at få haspå den. Også før der blev udlovet en dusør.

Læser man på linket om milleniumsproblemer ovenfor, er det nok svært at forstå, hvad det er, hypotesen siger. Men der findes en lidt mere tilgængelig formulering, som jeg vil forsøge at forklare.

Primtal (de tal (bortset fra 1), hvor kun 1 og tallet selv går op) er byggesten for alle tal. Man kan skrive ethvert tal som et produkt af primtal. F.eks. har vi at  21 = 7 •3 og at  32 = 2 • 2 • 2 • 2• 2. Vi ved, at der er uendelig mange primtal; det viste allerede Euklid. Vi ved også, at der bliver længere imellem dem, jo længere vi spadserer ud ad talaksen.

Lad π(m)  være den funktion, der giver antallet af primtal mindre end m.Vi har f.eks. at π (4) = 2, da der er 2 primtal mindre end 4 (nemlig primtallene 2 og 3).

Vi kan nu sammenligne π(m) med funktionen n/ln( n)  hvor ln( n) er den naturlige logaritme.
I en alder af 15 år (i 1793) påstod Gauss, at forholdet mellem π(m) og n/ln (n), altså brøken π(n) /(ln (n)/n)=π(n) n/ln(n), nærmer sig 1, når n går mod uendelig. De to funktioner ligner altså hinanden, når bare vi kommer langt nok ud af talaksen. Gauss havde forudset det ved at finde primtal og dermed regne π(m) ud for ret store n, og så sammenligne med funktioner, han kendte. Det blev først bevist langt senere, i 1896 af Hadamard og De la Vallee Poussin.

Men det er forholdet mellem funktionerne, der nærmer sig 1. Og det siger ikke noget om differensen mellem de to funktioner.
Tag for eksempe f(x) = x^8+x^7 og g(x) = x^8 . Forholdet f(x)/g(x) = 1 + 1/x nærmer sig 1 når x går mod uendelig.

Men |f(x)-g(x)| = x^7, og denne værdi går mod uendelig, når x går mod uendelig.

Riemann hypotesen siger noget om forskellen mellem pi(m) og [tex] frac{n}{ln n}[/tex], men for nu at være helt præcis, så er det ikke [tex] frac{n}{ln n}[/tex], men en funktion, der er meget i familie med den:
[tex] Li(n) = int^n_2 frac{1}{ln{t}} dt[/tex]

Riemannhypotesen siger, at der findes et tal  C, så
[tex] |pi(n) – Li(n)| < C sqrt{n}ln n [/tex].

Det siger, at forskellen mellem de to funktioner kun går meget langsomt mod uendelig. Meget langsommere end f.eks, funktionen h(x)=x  logaritmefunktioner vokser nemlig meget langsomt.

Hej Bloggere.
Da “Structural corruption” blev vist i efteråret, skrev jeg en lang historie om CitiCorp bygningen i New York, som måtte forstærkes i al hast, fordi der var lavet en fejl i udregningen af vindpåvirkningen (og endnu en fejl ved opførelsen af bygningen). Man havde kun regnet på vinde ind fra siden og ikke på skrå. Udsendelsen Structural corruption er stærkt inspireret af denne virkelige historie.
Problemet bag Citicorp bygningen var ikke, at man ikke havde regnet rigtigt, men at man simpelthen ikke havde regnet på det, der var relevant. Ingeniørfirmaet bag er meget stort og velanskrevet, men bygningen er en helt speciel konstruktion, og så gik det altså galt. Som jeg forstår det, plejer vinde på skrå ikke at være mere belastende end dem fra siden, men på grund af konstruktionen skulle man altså have lavet en ny model af problemet med vindbelastning og ikke have genbrugt ræsonnementer fra andre bygninger.

Hilsen Lisbeth
numb3rs@math.aau.dk
www.math.aau.dk/~fajstrup

Hej Bloggere.
Udsendelsen Vector blev sendt første gang i oktober 06. Poul Svante Eriksen skrev et indlæg om den på bloggen. Der er bl.a. en henvisning til et projekt lavet af en gruppe sundhedsmatematikstuderende på deres allerførste semester ved Aalborg Universitet.

Hilsner
Lisbeth Fajstrup. numb3rs@math.aau.dk
www.math.aau.dk/~fajstrup

Hej Bloggere.
Charlie og Larry rodede i udsendelse 1-02 rundt i Heisenberg og “Observer effekt”.
På Lundbeckfondens Teoricenter for Kvantesystemforskning er samlet en del danske publikationer om kvantemekanikkens mysterier. De er klassificeret efter læsbarhed/målgruppe, og Klaus Mølmers artikel om Kvantecomputeren skulle være tilgængelig for gymnasieniveau. Deri behandles bl.a. det sælsomme fænomen, at et system kan ændre sig blot ved, at man kunne have observeret en egenskab ved det – selvom man ikke har gjort det.
Der er flere gode og interessante artikler – f.eks. om Schrödingers kat.

Hilsen Lisbeth numb3rs@math.aau.dk
www.math.aau.dk/~fajstrup

Sæson 1 udsendelse 2 blev behandlet på bloggen 27/9-06, da den blev vist første gang.
Charlie kaster sig over problemet om P versus NP, og det skrev Hans Hüttel om 29/9-06

Charlie og Larry snakker om Heisenbergs usikkerhedsrelation og får det lidt galt i halsen, men det kan I læse om ovenfor. Hvis nogen fysikere har lyst til at forklare bloggens læsere om den effekt, der virkelig er tale om, nemlig “the observer effect”, så skriv endelig er indlæg. Jeg henviser i linket ovenfor til Wikipedia (på engelsk), men mon ikke det kan skrives fornuftigt på dansk også.

Hilsen Lisbeth numb3rs@math.aau.dk
www.math.aau.dk/~fajstrup

Hej Bloggere.
Charlie har i de seneste afsnit sagt, at han nu forsker i “kognitiv emergensteori”. Jeg har før skrevet om emergensteori på bloggen; man studerer, hvordan struktur kan opstå i store systemer udfra interaktion mellem småbitte enheder – fisk svømmer i stimer, myrer laver tuer etc. Og strukturen kan ikke observeres i en fisk, men kun i store flokke.
Som jeg forstår det, handler cognitiv emergensteori om, hvordan den menneskelige hjerne fungerer, og hvad det er, der adskiller os fra dyr. Altså, hvordan vi tænker.
Og hvorfor skal matematikerne nu blandes ind i det? For det første er matematikken god til at formulere sig præcist om struktur, og faktisk kan man også mere indirekte have matematikken med; hvordan kan det være, vi kan tænke matematisk? Hvad er det i hjernen, der gør, at man kan holde styr på så abstrakte begreber, som vi netop gør det i matematik? Vi kan håndtere meget komplekse begreber, have intuition om dem, få gode ideer mens vi cykler hjem; og det får vi om begreber, som man skal bruge lange bøger for at definere. Nogen mener, vi håndterer matematik ved hjælp af hjernens sproglige evner. Læs f.eks. Keith Devlins bog “The math gene. Why everybody has it, but so few people use it” (desværre ikke oversat til dansk).

Det er ofte frugtbart at bringe forskere fra forskellige områder sammen i kortere eller længere perioder og give dem tid til at udveksle netop deres fagområdes syn på store spørgsmål, som f.eks. hvordan vi tænker. Et af de store centre for den slags forskning er Center for Advanced Studies in the Behavioral Sciences ved Stanford University. her arbejder forskere fra mange forskellige faggrupper med de store spørgsmål, og man har allerede i 1982 haft et projekt med titlen Meaning and Cognition, hvor forskere fra linguistik, matematik og filosofi bringer deres viden sammen. I Danmark har vi Center for Functionally Integrative Neuroscience hvor mange forskellige faggrupper ser på hjernen.

Hilsen
Lisbeth numb3rs@math.aau.dk

Hej Bloggere.
Nu bliver sæson 1 jo genudsendt, og i den første udsendelse bruger Charlie geografisk profilering – se bloggen
Første udsendelse, Metriske Rum, Personer i pilotudsendelsen, Inverse problemer og Geografisk profiling.

Jeg har fundet en virkelig god hjemmeside om geografisk profilering, nemlig ESCRI, hvor man kan læse om det værktøj, de bruger, man kan tilmelde sig kurser (!) og læse artikler fra pressen om Geografisk profilering. Det er et canadisk websted, men to af artiklerne fra pressen er på svensk, så bloglæsere, der ikke er vilde med engelsk kan måske læse dem. Jeg kan ikke finde ud af at linke til dem, så I må selv lede nedad siden med artikler fra pressen. Husk, at software hedder datamjukvare; ellers er svensk let nok. (Nå, så let er det heller ikke – det hedder datamjukvara – tak til Marcel for rettelsen…)

Man bruger geografisk profilering til at finde et sandsynligt udgangspunkt for forbryderen – bolig, arbejdsplads, kærestes bolig,… Og eftersom det normalt er et stykke fra, hvor forbrydelserne bliver begået, kan man bruge det til at fokusere sine andre undersøgelser. F.eks. DNA, opfordringer til, at offentligheden hjælper etc. Det har svenskerne haft held med nogle gange. I stedet for at bede offentligheden om hjælp i området, hvor forbrydelsen er sket, koncentrerer man sig om der, hvor forbryderen med stor sandsynlighed kommer fra.

Lisbeth
numb3rs@math.aau.dk

Jeg lovede at finde ud af mere om Charlies bemærkning om, at banders territorier og ændringen af dem som tiden går, kan studeres med samme metoder som man bruger til at studere planter og deres “territorier”.
Området er rumlig statistik. Man studerer data, hvor en af de oplysninger, man har, er placering – enten i planen eller rummet. Man kender altså datapunkternes x,y-koordinat. Jeg gav en del eksempler i bloggen om Voronoidiagrammer.
I geostatistik, som er en del af rumlig statistik, ønsker man at forudsige egenskaber ved punkter, man ikke har data for, udfra nabopunkter. For eksempel er det væsentligt at have præcis bestemmelse af højder, (når man skal have vand til at løbe nedad, er det godt at vide, hvad nedad er) og man laver højdemodeller for Danmark ved at måle rigtig mange punkter og så bestemme højden i punkter, man ikke har målt, udfra de omliggende punkter. Se f.eks. Kort og Matrikelstyrelsen.
I Aalborg har vi forskning i biodiversitet – om forskellige planter og deres sameksistens – jeg citerer fra, hvad de selv skriver: I økologi for tropiske regnskove er et vigtigt spørgsmål, hvordan den store artsdiversitet opretholdes. En hypotese går ud på, at forskellige træarter udnytter forskellige habitater. Dvs., at artsdiversiteten kan henføres til rumlige variationer i f.eks. topografi og jordbundsvariable. I relation hertil udvikler Rasmus Waagepetersen statistiske metoder baseret på såkaldte rumlige punktproces-modeller, som gør det muligt at studere, hvordan intensiteten af en given træart afhænger af diverse variable.

I et andet projekt samarbejder Jesper Møller og Rasmus Waagepetersen med Janine Illian, University of Abertay, om at modellere det hierarkiske samspil mellem to typer af australske bush-planter, som har hver sin måde at overleve de hyppigt forekommende brande i bushen. For den ene type af planter (reseeders) gælder det, at plantens frø henligger inaktive indtil de bliver aktiveret af en brand. Den anden type (resprouters) af planters rodnet overlever branden. Planten vokser dermed videre det samme sted, efter at den øverste del af planten er ødelagt af en brand. Den rumlige fordeling af de to typer af planter modelleres ved hjælp af punktproces-modeller som tager hensyn til, at resprouters har indflydelse på placeringen af reseeders men ikke nødvendigvis omvendt. “

Charlie henviser formentlig til en kombination af det, Rasmus, Jesper og Janine beskriver ovenfor, og eksemplet fra tidligere med grævlinges territorier.

Overordnet er pointen, at lederen af bandekriminalitetsefterforskingsenheden (!) siger, at banders territorier udvikler sig fuldstændig tilfældigt og uforudsigeligt. Men Charlie siger, at der er system i tilfældighederne, og vi har faktisk metoder til at studere det.

Lisbeth numb3rs@math.aau.dk

Hej Bloggere.
Det var vist sidste afsnit af Numb3rs i denne omgang. Om to uger viser de det første afsnit fra sæson 1 igen, så vidt jeg forstod.

Matematikken idag var spilteori anvendt på gavegivning (!), territorier for planter og bander, og noget om Poisson Clumping og “kædereaktioner”.

Charlie nævner en artikel om, hvilke gaver, man (og faktisk mand) bør give, for at have størst chancer hos det modsatte køn (og det er kvinden, der skal have gaver, åbenbart.)
Det er noget spilteori; artiklen hedder “Costly but worthless gifts facilitate courtship” og er af Peter Sozou og Robert Seymour, og personligt tror jeg, det er en meget skærpet vinkel, pressefolkene fra University College of London har lagt på den. Men det påstås, at mænd med fordel skal give dyre gaver, som dog ikke har stor materiel værdi for kvinden – så kan hun ikke forlade ham bagefter og sælge diamanten… Jeg har ikke læst artiklen, så jeg ved ikke, hvad de skriver, men der er jo nok en stribe forudsætninger for, at modellen virker. Charlie kan dog bruge artiklen til at give sin far gode råd – bl.a. er de bedste gaver blomster og middage, derefter følger teaterbilletter. Jo, man lærer nyttige ting fra Numb3rs. Jeg fralægger mig ansvaret, hvis I bruger rådene…

Territorier og rumligstatistik
Banderne har visse territorier i Los Angeles, og Charlie siger, at de kan analyseres på samme måde som den måde, man analyserer planters “kamp” om dele af skovbund etc. Det har vi faktisk aktiv forskning i på Institut for Matematiske fag i Aalborg. Området er rumlig statistik, og jeg har skrevet om det i forbindelse med Voronoitesselationerne tidligere. Jeg vender tilbage til det senere – i næste uge. Jeg må hellere snakke med dem, der ved noget om det.

Årsagskæder
Charlie analyserer “shooting chains”. Han har data om drab og skud mod bandemedlemmer i Los Angeles de seneste fire år. Udfra de data laver han en model for sandsynligheden for, at et bestemt drab kan være forårsaget af et andet – som hævn.
I analysen indgår, hvem der blev skudt på, hvornår, hvilken bande, ofret tilhørte og hvilken plads ofret havde i hierarkiet i den bande, mordvåben,…
Han laver et diagram med drabene repræsenteret som prikker, og en pil fra et drab A til et andet, B, hvis vi mener, det er tilstrækkelig sandsynligt, at B er forårsaget af A.

Hvis man havde sat pile tilfældigt, ville man sommetider få mneget lange årsagskæder, hvor et drab ser ud til at udløse en lang kæde af drab. Så når man analyserer det diagram, Charlie har lavet, skal man overveje, om de mønstre, der er (kæder af drab, der forårsager andre) bare er tilfældigheder, eller det er tegn på, at der faktisk er noget struktur.
Til den analyse skal man vide noget om hvor lange kæder, man får ved en tilfældig fordeling af pile, og om de kæder, Charlie finder, er sandsynlige i sådan et tilfældigt lavet diagram, eller de faktisk er meget lange.
Charlie henviser til Poisson Clumping, og det er formentlig en bog “Probability approximations via the Poisson Clumping Heuristics” af David Aldous, han henviser til.

Charlie konkluderer, at de ret lange “shooting chains”, han ser, ikke er tilfældigt opstået, at de altså skiller sig ud. Så de ni kæder er noget specielt. Altså er det første offer ikke tilfældigt valgt, men er udvalgt til at forårsage mange drab/skyderier.

At afgøre, om noget er tilfældigt eller er noget særligt, er statistikere er gode til: Virker den ene pille rent faktisk bedre end den anden? Er der faktisk en effekt af drivhusgasserne? Bliver man syg af at spise gulerødder? Er han far til barnet, når hans DNA er sådan?
Man skal overveje, hvad man mener med, at det kan være tilfældigt (at lidt flere får det bedre med den pille), og hvor sikker man skal være på, at det ikke er tilfældigt.
I Charlies anvendelser handler det for det meste om at udpege sandsynlige forbrydere, som man skal undersøge nærmere. Men alene det at blive udpeget som sandsynlig morder kan jo være ret ubehageligt, så det er godt, de både bruger Charlies analyse og derefter ser, om det også giver mening set fra de andre metoder, FBI har – f.eks. Megans analyser.

Hilsner
Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
numb3rs@math.aau.dk

Hej på bloggen.
Engang imellem blandes matematik og fysik en del sammen, for eksempel er der meget matematik i fluid mekanik, som Charlie snakkede om. Han nævnte Euler, Prandtl og Viete som folk, der havde arbejdet i det område. De er omtalt her, i øvrigt sammen med Newton, med fokus på deres rolle i netop Fluid mekanik.
Ellers var der matematik i Diffie Hellman kryptering (brugt af Ethan og brandeksperten) og der var Principal Component Analysis.

Diffie Hellmann

I 1976 publicerede Whitfield Diffie og Martin Hellman en artikel, “New Directions in Cryptography”. Artiklen handler om at udveksle nøgler til at kommunikere i hemmelighed. To personer ønsker at udveksle hemmelige beskeder ved at afsenderen krypterer beskeden, sender den over en offentligt tilgængelig kanal (telefonen, internet, i avisen,…) og modtageren dekrypterer. Nøglerne er den information, de to skal være enige om for at kunne henholdsvis kryptere og dekryptere.
Det nye var, at man faktisk kan udveksle nøglerne via den offentlige kanal. Umiddelbart lyder det jo ret urimeligt, for kan en tredie person så ikke sidde og opsnappe nøglerne for derefter at kunne læse de hemmelige beskeder? Som tidligere omtalt på bloggen er der forskel på at kunne regne noget ud i princippet og så rent faktisk at kunne regne det ud indenfor f.eks. universets forventede levetid – eller måske bare 100 år; det skulle vel kunne gøre det.
Den slags systemer kaldes Public Key Systemer – nøglerne er offentlige, men man kan alligevel ikke dekryptere beskeden.
Diffie og Hellman var muligvis ikke de første med ideen. I GCHQ (Government Communications Headquarters), som er (eller var?) en del af britisk efterretningsvæsen, havde man allerede i 1970 fat i ideen, men holdt det hemmeligt. Se i øvrigt Martin Hellmans beretning om at arbejde med kryptografi med trusler om retssager hængende over hovedet, fordi artiklerne blev offentliggjort. Han stiller også spørgsmålstegn ved GCHQ’s påstand. Hvordan kan man verificere, at de havde ideen først, når de ikke havde offentliggjort den? Det gjorde de i 1996.
Diffie Hellman nøgleudveksling forgår som følger: Alice og Bob vil udveksle nøgler. En fælles nøgle er et tal, Alice og Bob er enige om, og som andre ikke kender.
Vi tager først et eksempel:
1) Alice og Bob bliver enige om p=23, g=5 (f.eks. ved, at Alice sender de tal til Bob)
2) Alice vælger et hemmeligt tal, a=6, udregner g^a=5^6 og tager rest ved division med p=23. Det giver 8. Det tal sender hun til Bob.
3) Bob vælger sit eget hemmelige tal, b=15, udregner g^b=5^15 og resten ved division med p=23. Det giver 19, og det sender han til Alice.
4) Alice udregner nu 19^a=19^6, tager rest ved division med p=23 og får 2.
5) Bob udregner 8^15, rest ved division med p=23 og får 2.

Nu er 2 deres fælles hemmelige nøgle. Andre kender ikke a og b, så de kan ikke lave trin 4 og 5, selvom de har aflyttet det tidligere.

I virkeligheden skal p være et meget stort primtal. Tallet g er en primitiv rod af p, det vil sige, at når man udregner tallene g, g^2, g^3 ,… og tager rest ved division med p, så kommer man igennem alle tallene 1,2,3,…,p-1.
Hvis vi i eksemplet med p=23 havde valgt g=2, havde vi som g,g^2,… fået
2,4,8,16,9,18,13,3,6,12,1 og så forfra. Altså ikke alle tal fra 1 til 22.
Med 5 får man 5, 2, 10, 4, 20, 8, 17, 16, 11, 9, 22, 18, 21, 13, 19, 3, 15, 6, 7, 12, 14, 1 og det var alle tal fra 1 til 22.
Som man kan se, giver division med rest noget ret uoverskueligt, og det er hele fidusen: Selvom man kender Alices a^g mod p (resten efter division med p) og man kender både g og p, kan man ikke nemt finde a, hvis ellers p er et stort primtal. Hvor stort, det skal være, afhænger af, hvor sikker kommunikationen skal være. Videnskabsministeriet har en vejledning Praktisk brug af kryptering og digital signatur hvor man skriver om Diffie Hellman.
RSA som jeg tidligere har omtalt er en asymmetrisk metode, hvor kun den ene part skal kunne dekryptere, svarende til, at Alice vil sende til Bob, men ikke omvendt. Alice skal så ikke have noget hemmeligt for andre.

Principal Component Analysis

Charlie havde fundet 600 variable, som karakteriserer en påsat brand, og indtastet (fået nogen til at indtaste) disse variable for 5000 brande i Los Angeles området. Derefter har han “projiceret på en 15 dimensional hyperplan”. Han har med andre ord fundet 15 kombinationer af de 600 variable, som bedst karakteriserer forskellige brandtyper.
Det er en slags data mining, som vi har haft med på bloggen før. Man leder efter “klumper” af data, og om man kan karakterisere “klumperne” med f.eks. summen af alle 600 variable, differensen mellem de to første, 7 gange den tredie plus 8 gange den syttende… eller noget lignende. Om man altså kan nøjes med færre tal end de 600. Og Charlie kan nøjes med 15 tal for hver brand – ret smart.
Deraf ser han, at der er to forskellige metoder, altså to forskellige pyromaner.

Charlies ekspertviden om at være 17 år og rigtig dygtig fagligt, men helt ved siden af socialt, var også nyttig.

I øvrigt var der et nyt ansigt: fysikeren Bill Walde, som lavede en opstilling af et forsøg med en røgeksplosion. Han spilles af Bill Nye, som har et TV-show “Bill Nye, the Science Guy”, hvor han netop laver diverse eksperimenter som det vi så her med at genantænde et stearinlys. Ham ser vi igen i sæson 3.

Hilsen Lisbeth www.math.aau.dk/~fajstrup
numb3rs@math.aau.dk