Bogen Lykkelig i Nørdland er nu gratis tilgængelig hos Gyldendal. Se Dorte Tofts blog
Det er en bog om kvinder i teknik og naturvidenskab – hvorfor er der så få i Danmark i forhold til andre lande? Desuden er der interview med bl.a. mig 🙂 Og jo. Dorte er hende med Stein Bagger…
Numb3rs holder pause indtil foråret. Kanal 5 sparer på de sidste afsnit. Jeg blogger nok, som sædvanlig lid om matematik alligevel, men Numb3rs-kommentarerne kommer først tilbage i foråret.
Monets malerier af katedralen i Rouen blev brugt som eksempel på noget, der er næsten ens, men ikke, når man kigger nærmere efter. Charlie sagde, det drejede sig om forskellige penselstrøg, men de er nu mere forskellige end det – de er malet på forskellige tider af døgnet og har ret forskellige farver. Der er godt 30, og man kan se de 16 på Wikipedia. Charlie brugte analogien for at tale om audiosignatur eller akustisk signatur. Det er der matematik i. Der var noget om DNA – den kidnappede pige var en klon (!).
Akustisk signatur
Charlie og Amita følger en bil gennem LA ved at genkende dens akustiske signatur i de forskellige overvågningssystemer, der findes i USA. Vi har set på akustisk signatur af et skud tidligere på bloggen.
En akustisk signatur er et uddrag af karakteristiske egenskaber ved et lydsignal: Lyden af en ubåd, lyden af patientens lunger i et stetoskop, lyden af bestemte bilmærker (en Porsche lyder anderledes end en Ferrari), menneskestemmer, find selv på flere. Lyden af forsnævrede kranspulsårer har en anden signatur end sunde kranspulsårer; det kan man høre, men man kan også uddrage de karakteristiske forskelle og få en automatisk registrering af problemer – meget før, vi ville kunne høre det med ørerne.
Karakteristiske egenskaber ved lyd kan være frekvenser. Dem kan man uddrage ved Fourieranalyse. Et lydsignal tager en vis tid, og man taler om tids og frekvensdomæne. Her er en lyd, som er en sum af to sinus kurver:
Den røde kurve er summen af den blå og den grønne. Grafen viser ampituden (lydtryk) som funktion af tiden. En frekvensanalyse ville give to toppe: En ved frekvensen for den grønne og en ved frekvensen for den blå. Igen vil højden af toppene indikere, hvor meget energi, der er i lyd med netop den frekvens.
Frekvenserne og den energi, de optræder med, kaldes spektret for lyden. Her er et eksempel fra Wikipedia:
Lyden af en bil varierer som tiden går, så man er interesseret i både frekvensbillede og tidsbillede, altså, hvordan spektret (frekvenserne) varierer, som tiden går. En tids-frevens- repræsentation af lyden.
Billedet her er en tids-frekvensplans repræsentation af John F. Kennedy, der siger “Ich bin ein Berliner” De røde punkter svarer til høj energi, de blå er lav. Tak til Anders La Cour for billedet, som også er i denne artikel om wavelets i Aktuel Naturvidenskab.
I afsnittet her vil man genkende en bestemt bil blandt mange. Det har jeg ikke fundet referencer til, men man kan udmærket forestille sig, at en bestemt bil har en karakteristisk lyd. Om man kan genkende den blandt mange andre, ved jeg ikke.
Jeg har fundet en hel del artikler om at genkende køretøjer i bevægelse – med henblik på alarmsystemer. Der er mange lyde – vind, regn, tale, fly, skridt,…, problemet er så at finde lyden af (motor)køretøjer blandt alle disse. I artiklen Wavelet based acoustic detection of moving vehicles. (A.Averbuch, N.Rabin, A. Schclar) beskrives en algoritme, der gør det. Den er, som titlen siger, baseret på wavelets. Wavelets har vi haft tidligere på bloggen her forklarer Arne Jensen om wavelets.
1) Algoritmen skal først selv uddrage karakteristika ved køretøjer (V) og ikke-køretøjer (N). Derfor analyseres en lang række lyde, som allerede er klassificeret som V eller N. Analysen bruger wavelet filtre. Så kaldes proceduren RSNOFP (Random Search for Near Optimal Footprint). Denne søger efter den beskrivelse af egenskaber ved de to typer signaler, som bedst skiller dem ad i to grupper.
2) Der bygges et CART, Classification and regression Tree, se tidligere på bloggen. Det er et beslutningsstøttetræ.
3) Nu kan man identificere om et nyt signal er V eller N ved først at dele det op i komponenter via en waveletanalyse og så se, hvor langt det ligger fra hhv. karakteristika for N og for V. (Her skal man bruge et afstandsmål.)
Om kloner og DNA
Den bortførte pige har præcis samme DNA-profil som en kvinde, de finder i databasen over DNA-profiler.
Det betyder ikke nødvendigvis, at pigen har samme DNA som kvinden. En DNA profil er ikke en registrering af hele DNA og det er simpelthen noget vrøvl, at man kan konkludere, at de to har ens DNA og dermed, at pigen er en klon. En DNA-profil giver information om en lille del af DNA. Se mere på bloggen om, hvad man registrerer i en DNA-profil.
Hvis databasen er stor nok, så vil der med stor sandsynlighed være profiler, der er ens (og ikke kommer fra enæggede tvillinger eller kloner). Det er en udbredt misforståelse, at en DNA profil er en kortlægning af hele DNA, men det er det på ingen måde.
Projektet 1000 genomes er en kortlægning af 1000 personers DNA. En del af projektet er lige blevet færdigt 27 oktober 2010 og resultaterne er offentliggjort i Nature. Det er en kæmpeopgave. Et mål er at se på variation i DNA, sammenhæng mellem genotype og fænotype og på mutation (man har to mor, far, barn tripler med) . Det kan også give en ide om, hvor gode DNA-profilerne er – hvor forskellige, vi faktisk er.
Her var faktisk en del matematik – mere eller mindre eksplicit. Der var et par, der “geocachede” (gik på skattejagt med GPS) – der er masser af matematik i GPS, men det har jeg forklaret tidligere. Alan brugte et program til “geospatial simulation”. Der var adaptive algoritmer i manuskriptskrivningsprogrammet CinePal. Charlie, Amita og Larry lavede en triangulering for at finde placeringen af en mobiltelefon. Og så var der et forsøg for at bestemme adsorptionsraten for det silica gel, der var i kassen med mumien.
I øvrigt var der en reference til en film, , men det var der vist ikke matematik i.
Adsorption
Absorption af vand sker, når vandet går helt ind i det, det absorberes af (hvis jeg drikker det, ender det i mine celler), adsorption er en “opbevaring” af vandet (spilder jeg vand på mit tøj, bliver det adsorberet, men damper væk igen.)
Så de silica gel, der er i kassen med mumien, adsorberer altså vandet.
Adsorption er en indviklet proces. Faktisk er der et helt tidsskrift med titlen Adsorption udkommet siden 1995.
Det er rigtigt, som Charlie og Larry sagde, at man ofte må eksperimentere sig frem til, hvordan adsorption foregår i et givet materiale under forskellige ydre påvirkninger som f.eks. tryk, temperatur, luftfugtighed, men man har skam også matematiske modeller.
Så vidt, jeg kunne se, var det silica gel, der var pakket i kassen, og jeg har bl.a. fundet en artikel: Thermal Diffusitivity and AdsorptionKinetics of Silica-Gel/Water (J.M.Gurgel, L.S. Andrade Filho, PH. Grenier, F.Meunier), Adsorption 7, pp. 211-219. Der er målet at finde ud af, om man kan bruge silica gel i køleskabe – når vandet frigives og fordamper, sker en afkøling.
Mummificering sker, når et lig ligger i tørre omgivelser – jeg har fundet en artikel med et estimat, der siger, det tager 1285/T dage for et lig at blive enten skelet eller mumie, hvis temperaturen er T – hvis der er tørt i luften bliver det så en mumie. Men så simpelt er det sikkert ikke.
En ligning for adsorption af en gas (vanddamp) i et fast materiale, er Langmuir ligningen, som beskriver processen
,
hvor Ag er et gasmolekyle, S er et sted på det faste stof(solid), hvor der kan “sidde” et gasmolekyle og AS er den adsorberede tilstand.
Langmuir ligningen
udtrykker theta, andelen af adsorptionsites, der ikke har adsorberet et gasmolekyle, P er gastrykket (koncentrationen af gasmolekyler) og alpha er en konstant, der afhænger af hvilken gas og hvilket stof (styrken af bindingen, når gasmolekylerne sætter sig på overfladen) og temperaturen. alpha er Langmuir adsorptionskonstanten. Det gælder i ligevægt, hvor gastrykket har været konstant et stykke tid.
Og det er selvfølgelig alt for simpelt, så man skal bruge mere avancerede modeller. I artiklen Adsorption Characteristics of Silica Gel + Water Systems
Hui T. Chua, Kim C. Ng, Anutosh Chakraborty, Nay M. Oo,and Mohamed A. Othman, i Journal of Chemical and engineering data, 2002
undersøger man vand og Silica. Man holder temperaturen konstant og varierer damptrykket og får kurver (isothermer) for den optagne mængde vand som funktion af damptrykket.
Nu skal alle disse eksperimentelle data så fittes til en model og her skal man bruge statistik – hvad er et godt fit – hvor må afvigelserne være store, hvor skal modellen pinedød passe, og hvordan måler man det. Modellen, de bruger, er Toth’s ligning
q* = K0 exp(Dads(H)/RT)P1/{1 +[K0/qm exp(Dads(H)/RT)P1]^t}^(1/t)
som udtrykker den adsorberede mængde som funktion af en række faktorer eksempelvis ligevægtstemperaturen T og t, som er Toth-konstanten. I artiklen estimeres Dads(H), K0 og qm for to forskellige mærker i Silica Gel.
Så jo. Det er noget mere indviklet.
Silica gel kan bringe holde luftfugtigheden ned til 40 % ved rumtemperatur. En molekylær si kan bringe den ned til 10% – se f.eks. Dessicant types hos Sorbent Systems.
Geospatial simulation
Det kan dække over flere ting – f.eks. simulering af, hvornår en miljøgift når grundvandet (se University of Tennessee) Mere overordnet: At simulere et forløb i rum og tid – rum er her geografiske data, et GIS, og man programmerer eksempelvis, hvordan væske bevæger sig, hvordan store menneskemængder flytter sig – støder ind i hinanden og maser. Alan skal nok bruge det til byplanlægning. Se også oversigten hos geosimulation.org.
I geospatial simulation er der forskellige typer “objekter”, der vekselvirker (interagerer). Væske strømmer, mennesker går, cykler, kører i bil, tager bussen udfra deres planer og hvordan geografien ændrer sig – eksempelvis kan væskerne jo komme i vejen… Planerne ændrer sig i vekselvirkning med omgivelserne, mennesker lærer af omgivelserne etc. At simulere så komplekse situationer kræver (naturligvis) virkelig smart datalogi f.eks. objekt orienteret programmering (har jeg læst mig til)Her er en række forlæsninger om OOP fra mit eget universitet – underviser Kurt Nørmark.
Ideen er, at man har objekter, som har et “indre liv” – software, som de kan anvende, og som kan udveksle med anden software gennem forud bestemte “kanaler”. Et objekt har en identitet, tilstand og adfærd. Objektet kan have data, som omverdenen kun kan få adgang til via de tilladte kanaler. I geospatial simulation er objekterne så personerne, bilerne, busserne, vandet (?).
I en god simulering skal man bruge fysik – man skal vide, hvordan vand løber – biologi – hvor højt kan menneskene hoppe, og hvor varmt må det være, før de falder om- og man bruger naturligvis matematik til alle disse modeller.
Baggrunden her var den finansielle krise og de mange amerikanere, der tabte penge og måtte gå fra hus og hjem. Larry var rystet over, at astronomer har forudset, at Jorden opsluges af solen om 7,6 milliarder år. Det kan man læse om på Space.com. Artiklen om udregningerne kom i Monthly Notices of the Royal Astronomical Society i 2008, så det er det, der hentydes til her.
Der var en lille smule sandsynlighedsteori – i forbindelse med russisk roulette, og så var der noget med at spore hvor turneringerne blev holdt ved at bruge IP-adressen, der blev brugt til at streame video – så vidt jeg forstod.
Desuden sammenlignede Charlie data for ofrene – brug af kreditkort var noget af det. Og han fandt ud af, at de havde noget til fælles – de havde hævet penge i samme geografiske område.
Afstand i tid og sted
Når Charlie skal se, om ofrene har været tæt på hinanden, kan det betyde flere ting: Har de gjort det samme, været samme steder ( i samme rækkefølge), gjort noget til et fælles tidspunkt,… Man har altså, som vi har set tidligere, brug for at måle afstand mellem andet end punkter i plan og rum. Man kan jo starte med at se på afstand i både tid og sted: Et offer hæver penge til tiden t1 i punktet (x1,y1) – vi tager ikke højder med her, men det kunne man jo godt, hvis man ville. Et andet offer køber benzin til tiden t2 i punktet (x2,y2). (Lad os sige, at tiden måles i minutter og sted i meter). Er de to begivenheder tæt på hinanden?
Et afstandsmål kunne være
d=”kvadratroden af” (t1-t2)^2+(x1-x2)^2+(y1-y2)^2.
Man kunne så sige, at de to begivenheder er tæt på hinanden, hvis d<10. Det rejser nogle spørgsmål: Det er nu lige tæt på hinanden, hvis
1) noget sker på samme sted, men med 5 minutter imellem.
2) Noget sker til samme tidspunkt i punktet (x,y) og i punktet (x+5,y)
Er det mon det, vi ønsker? Måske vil vi hellere måle afstanden i tid og sted hver for sig og sige, man er tæt på hinanden, hvis |t1-t2|<3 og (x1-x2)^2+(y1-y2)^2<100
Man skal vælge, hvordan man måler afstand, og der er mange muligheder. En anden, som giver god mening i en amerikansk storby er at lade x-koordinaten måles langs den ene akse i det koordinatsystem, gaderne typisk udgør og y-aksen den anden (på Manhattan er det Streets på den ene led og Avenue’s på den anden). Afstanden kan så være |x1-x2|+|y1-y2|. Det giver den afstand, man skal gå, når man er nødt til at følge gaderne.
(fra Wikipedia – <A href=”http://en.wikipedia.org/wiki/Taxicab_geometry”>Taxi cab geometry</a>)
Man kan ikke gå langs den grønne linje, men må følge gaderne – så bliver der længere. Til gengæld er det lige langt at gå langs den gule, røde eller blå kurve.
Om sandsynligheder og russisk roulette.
Her lavede Charlie og Larry et forsøg med nogle studerende. Det må nu bare have været for sjov, for man kan udmærket regne på det, uden et forsøg.
Så vidt man kunne se til sidst i afsnittet, foregik spillet ved, at man først snurrede tromlen i revolveren rundt. Så skød spillerne efter tur, uden der blev drejet på tromlen ind imellem (den roterer selvfølgelig en frem hver gang). Hvis ikke der er snyd med i spillet, vil der være sandsynlighed 1/6 for, at den første spiller skyder sig selv. Når han har skudt, og ikke har skudt sig selv, er der sandsynlighed 1/5 for, at nummer to skyder sig. Og derefter 1/4 indtil der er sandsynlighed 1, når det sjette skud skal fyres af.
Ser man på det fra starten af og overvejer, hvad sandsynligheden er for, at det er den, der fyrer det tredje skud, der skyder sig, så er den (sandsynligheden for, at nummer 1 IKKE skyder sig)*(sandsynligheden for, at nummer 2 IKKE skyder sig)* (sandsynligheden for, at nummer 3 skyder sig)=5/6*4/5*1/4=1/6, og det samme gælder for alle de 6 skud.
Så fra starten er det lige sandsynligt, at skud nummer 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 er det med patronen. Uanset, om man spinner tromlen mellem hvert forsøg eller ej.
Men de betingede sandsynligheder: “Sandsynligheden for, at nummer 3 skyder sig GIVET, at nummer 1 og 2 har skudt og overlevet” er 1/4. (hhv. 1/3, 1/2, 1 for nummer 4, 5 og 6)
Som udgangspunkt gør det altså ingen forskel, om man spinner tromlen hver gang eller ej. Men efterhånden som de andre skyder og overlever, vil nummer 6 nok begynde at svede. Og her, hvor det var to spillere, der skiftedes, har de begge sandsynlighed 1/2 som udgangspunkt. Bortset fra, at der jo var snydt med tromlen.
Spillede russiske soldater nogensinde russisk roulette? Svaret er vist nok nej.
Jeg kom lige forbi David Spiegelhalters Understanding Uncertainty, og det vil jeg reklamere for – jeg har gjort det før, men det er altså et rigtig godt site:
Se f.eks. animationerne.
Der er mange gode links videre ud. F.eks. kan man se, hvordan en epidemi udbreder sig (hos Financial Times – det kræver, man registrerer sig, men det er gratis).
Og i øvrigt fandt jeg en fin tegning fra
xkcd.com:
Det var lidt svært at få øje på matematikken denne gang. Jeg noterede “Spectral representation synthesis” – det, der skulle buges for at sætte forskellige vidneforklaringer sammen til et samlet billede. Der var noget laserscanning, som blev brugt til at lave 3d billeder, og så havde Larry forresten en mystisk metalbold lavet af noget, der lignede 6-armede søstjerner med armene flettet sammen – den lignede et puslespil af en slags.
Ligesom sidste gang var det altså 3D repræsentationer, det drejede sig om, så det må være det, I får i denne uge. Charlie talte i sidste uge om, hvordan vi kan snydes i opfattelsen af virkeligheden. Vi bruger erfaringer til at fortolke nye indtryk. Han nævnte den roterende “barberreklame” – en pæl, der er stribet diagonalt:
Billede fra Wikipedia – Creative Commons.
Ser man den tæt på, ser det ud til, der er en bevægelse opad. I artiklen
An empirical explanation of aperture effects PNAS, vol. 106, no1. 2009. Kyongje Sung, William T. Wojtach og Dale Purves, forklares efffekten med, at vi bruger erfaringer fra tidligere til at gætte på, hvad vi ser. Altså en slags sandsynlighedsteoretisk model.
Dale Purves er leder af et laboratorium, hvor de forsker i netop dette. Der er mange fine eksempler på synsbedrag og forklaringer på See fo yourself siden under Purves’ lab.
Så 3D effekter på en flad computerskærm spiller på en blanding af matematik og viden om opfattelse af virkeligheden.
3d laserscanning
Det er der meget matematik i og megen teknik… Så lad mig holde mig til matematikken:
Man placerer 3d-scanneren forskellige steder i forhold til det, man vil måle på. Så registreres et antal punkters placering: Afstand dertil samt to vinkler – man kan tænke på geografiske koordinater:
Her er laseren i origo, det vandrette plan er x-y-planet (det kan apparatet registrere via lodlinje eller en vaterpaslignende konstruktion). Man sigter på punktet og registrerer afstanden r, vinklen med vandret, teta, og vinklen “på tværs”, phi. Aksen A er “lige frem” for apparatet.
Dette gør man for mange punkter, og så flytter man apparatet og kigger fra en anden side. Man registrer nogle punkter igen set fra den side og kan se flere punkter.
Nu er opgaven at passe al denne koordinatinformation sammen. Man har (x,y,z) koordinater for de forskellige positioner af apparatet. Det giver så rigtig mange (x,y,z) koordinater for punkter på de objekter, man vil afbilde. Men de er jo ikke bare en punktsky. Man skal have klistret overflader ind mellem punkterne. Det er der igen meget matematik i: Her er en metode: Hvis tre punkter er tilpas tæt på hinanden, klister man en trekant ind mellem dem. Det giver så en figur, der er kantet. Har man rigtig mange trekanter, ser den glat ud, men man kan også lime buede stykker ind i stedet for trekanter (NURBS). Det giver andre muligheder. Man skal overveje, hvordan de skal krumme for at mødes pænt langs de fælles kanter, og igen er der rigtig god matematik i det.
Så skal der lægges lys og skygger på, tekstur (hedder det overhovedet det på dansk?), genskin og meget mere. Igen er der fin matematik i f.eks. belysning: Hvis der er en lyskilde i punktet P og den lyser i et antal retninger (det afhænger bl.a af lampeskærmen…) kan man naturligvis regne ud, hvilke dele af objektet, der bliver belyst – lys udbreder sig langs linjer. Men der er jo også refleksion, diffust lys, delvis optagelse af lyset og meget andet, som man skal modellere rigtigt. Refleksion sker i retninger, der afhænger af tangentplanen til objektet.
Jeg bemærkede noget med overdækninger (coverings), om aperiodisk flisedækning, den uventede hængnings paradoks, det gyldne snit, noget “crowd control”, (crowd flex hed det vist), billedbehandling, geomatic survey (det 3d kort, Charlie og Colby lavede for at se, hvor en snigskytte skulle stå). desuden omtalte Charlie den ungarske matematiker Laszlo Fejes Toth. Ungarn har en stærk matematisk tradition, og Fejes Toth (1915-2005) anses som en af de rigtig store. han beskæftigede sig bl.a. med diskrete problemer i geometri. Han beviste i 1940, at den mest effektive måde at pakke cirkler sammen på i planen, er a la bikube. Det tilsvarende problem for kugler i 3d, Keplerproblemet er muligvis løst i 1998 af Thomas Hales, men der er uenighed om, om beviset holder – det er meget uoverskueligt og bruger computercheck på en stribe specialtilfælde, og så skal man jo være helt sikker på, at programmet gør, hvad det skal.
Geomatics
Ordet dækker over en lang række metoder i behandling og rerpæsentation af rumlige data – i Danmark kalder vi det også geoinformatik og systemerne kaldes geografiske Informations Systemer (GIS). Altså data knyttet til et punkt i Verden – en geografisk koordinat og en højde. Geomatics betegner desuden geodæsi, altså kortlægning: Opmåling og bestemmelse af geografiske positioner, enten udfra en kendt position og en afstand og vinkel til et nyt punkt, eller naturligvis GPS teknologien.
Charlie og Colby møder op i parken med landinspektørernes typiske udstyr (det orange monstrum med tre “ben”): En totalstation, som bl.a. indeholder GPS til bestemmelse af stationens koordinater, en teodolit til måling af vinkler, diverse software til behandling af data, der registreres og EDS, elektrooptisk distance måler, som måler afstande ved at udsende (mikrobølge eller infrarødt) lyspulser i en retning, observere, hvornår det kommer tilbage og regne på afstanden udfra den tid, det har taget at nå frem og tilbage. Mere præcist bliver det, når man udsender lys med forskellig bølgelængde eller anden form for gentagen struktur. Man kan så registrere, at det kommer tilbage efter 5000 bølgelængder udsendt, så afstanden er 5000xbølgelængden ( gange 1/2, for lyset skal frem og tilbage.)
Mest præcist bliver det, hvis man opstiller et prisme “i den anden ende”, så man får god reflektion. Her er en totalstation fra Leica. Den måler vinkler med en usikkerhed på 1 buesekund, alt så 1/3600 grad. Afstande har en usikkerhed på 1,5 mm pr km.
I skal faktisk også have en historie om kortlægning og matematikken bag – det holder jeg kursus i for de landinspektørstuderende, så det ved jeg virkelig noget om :-). Men det må vente – der er undervisningsopgaver, der kalder. Og en efterårsferie…
20/10 2010 er det for første gang “World Statistics Day”. . Udråbt af FN’s generalsekretær Ban Ki Moon. Målet med dagen er at gøre opmærksom på, hvor vigtigt det er at have pålidelig statistik. Hvis I kender til aktiviteter i Danmark, vil jeg gerne vide det. Danmark er verdenskendt for registre over befolkningen knyttet sammen gennem CPR. Det giver forskere rigtig gode muligheder for at undersøge diverse sammenhænge mellem f.eks. levevilkår og sygdom. Statens Institut for Folkesundhed har f.eks. ansvar for Dødsårsagsregisteret,
Dansk Hjerteregister (kliniske data), Det Danske Scleroseregister, Cerebral Parese Registret (spastisk lammelse), Ulykkesregisteret, DANCOS (Danish National Cohort Study). Og der er andre registre.
Registerforskning lyder kedeligt, men er meget væsentligt og kræver troværdige registre.
Her er nogle eksempler på registerforskningsprojekter under Institut for Folkesundhed:
Metallisk kviksølvs skadevirkninger,
Sygdomsbyrden af slidgigt,
Langtidskonsekvenser af ulykker
Samfundsøkonomiske konsekvenser af forskellige behandlinger af iskæmisk hjertesygdom
Invasiv undersøgelse og behandling ved akut myokardieinfarkt
Udviklingen i prævalens af cerebral parese
Overlevelsen ved cerebral parese
Udviklingen i incidens og prævalens af multipel sclerose
Numb3rsbloglæsere vil vide, at den slags kræver, at man har styr på sine statistiske metoder. Så jo. Det er vigtigt at have nationale og globale statistikker. Og statistikere 🙂
OBS: Dette postes inden udsendelsen, da jeg er væk onsdag- torsdag.
Igen en rigtig ubehagelig forbryder – som heldigvis ikke havde forstand på computere. En glimrende replik fra Amita, da hun var fri igen: “My book will be called Three Days with a computer illiterate”. Nemlig – så kan de lære det 🙂
Matematikken var: Angels and demons – et problem i spilteori, som blev løst i 2006. Der var en hel masse matematik bag – f.eks., at man ikke bare kan hacke sig ind i “American Credit Union”, som forbryderen troede – det har vi set før: Sikkerheden bygger på matematikproblemer, som er vanskelige (tager meget lang tid) at løse, selv med en stærk computer. For eksempel faktorisering af et stort tal i sine primfaktorer.
Der var noget om rumlige puslespil – “Burr’s”. Og Larry nævnte Eulerture i en graf.
Engle og dæmoner
John H. Conway stillede i 1982 i bogen Winning ways for your mathematical plays (Conway, Berlekamp og Guy) et spørgsmål, som er nærmere beskrevet i denne artikel fra MSRI-publications.
Dette billede fra Wikipedia illustrerer problemet: En engel placeres på et uendeligt (!) skakbræt. Englen har en vis kraft, på figuren er det 3. En engel med kraft 3 må flytte til et felt i afstand højst 3, hvor afstanden mellem (a,b) og (x,y) er |x-a|+|y-b|, den såkaldte Manhattan afstand, eller taxi afstanden. Den hopper (nå ja, flyver vel), så den kan hoppe over de røde huller, men må ikke lande i dem. Modspilleren, djævlen, spiser felter. Et ad gangen.
Djævlen vinder, hvis den spærrer englen inde. Englen vinder, hvis den lever evigt.
Nu er spørgsmålet: Findes der en strategi for englen, så den altid vinder.
Der er enten en vindende strategi for englen, eller for djævlen, eftersom djævlen skal give en strategi, der spærrer englen inde i løbet af endelig mange træk. Hvis der IKKE er sådan en strategi, vil der altid være et muligt træk for englen. Og det er så englens vindende strategi.
For kraft 1 findes der en vindende strategi for djævlen. Altså en på forhånd fastlagt strategi, som altid vil fange englen. Det viste Berlekamp i 1982.
Conway spurgte, om en engel med stor nok kraft altid kan undslippe. Og svaret er ja. Selv for en engel med kraft 2. Det blev vist i 2006 i fire uafhængige beviser (de fire matematikere har ikke set hinandens beviser – så alle får æren).
Nordmanden Oddvar Kloster og ungareren András Máthé beviste, at en engel med kraft 2 har en vindende strategi – ved at give sådan en strategi og vise, at den virker. Strategierne skal sørge for, at englen ikke flyver ind i en “tunnel”, et hesteskoformet område, hvor djævlen har spist kanterne i en bredde på 2. Hvis englen flyver langt ind i sådan en tunnel, kan djævlen nå at æde udgangshullet, inden englen når tilbage igen.
Oddvar Kloster’s strategi er groft sagt, at englen hele tiden har en plan for fremtiden, kan huske sin fortid og i hvert skridt opdaterer sin fremtidsplan. Denne plan inkluderer en flyverute for englen og et “forbudt område” – vest for flyveruten – hvor englen ikke nogensinde vil komme, og hvor djævlen kan æde alt, hvad han vil. Den første plan er at flyve direkte nord på. Hvis djævlen begynder at æde områder øst for denne nordgående sti, og disse er tæt nok på, vil englen flyve øst om dem. Der er fine tegninger på Klosters hjemmeside af Klosters egen løsning.
Her er englen fløjet øst om de tre mørke felter, som djævlen har spist. (Billede fra Klosters hjemmeside).
De to andre beviser er for engle med større kraft (Brian Bowditch for kraft 4 og Péter Gács for en meget stor kraft).
Hvis skakbrættet er 3d, er det lettere at give en vindende strategi for englen – det blev vist af B. Bollobás og I. Leader, og desuden i Martin Kutz’ PhD afhandling fra 2004. Men deres strategier kan ikke overføres til dimension 2. Det er en typisk udvikling af et matematikproblem: Man generaliserer (fra 2D til 3D) og løser det der – det giver ofte ideerne til at løse det oprindelige problem, Men omvendt er der også mange geometriske problemer, som er løsbare i visse dimensioner, men stadig uløste i f.eks. dimension 3 eller 4.
